Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения. 
Первые интегралы

0.3.1. Величина Q = mv называется количеством движения.

Т. Производная количества движения по времени равна силе, действующей на материальную точку.

? Доказательство очевидно:

Последнее равенство выражает второй закон динамики. ?

0.3.2. Величина G = г х mv называется моментом количества движения материальной точки.

Т. Производная момента количества движения материальной точки по времени равна моменту силы, действующей на точку.

А Под моментом силы относительно точки О понимается вектор^o (F) = г х F. Далее имеем.

0.3.3. Функция /(г, г,/) называется первым интегралом уравнений движения тг = F (i г, /), если она постоянна на каждом решении уравнений движения.

C.I. Если проекция силы на неподвижную ось равна нулю во все время движения, то уравнения движения материальной точки имеют первый интеграл: проекция количества движения на эту ось постоянна — закон сохранения количества движения.

А Пусть е — орт неподвижной оси и Fe = 0. Тогда eQ = eF = 0 и eQ постоянна. ?

С. 2. Если проекция момента силы на неподвижную ось равна нулю во все время движения, то уравнения движения материальной точки имеют первый интеграл: момент количества движения относительно этой оси постоянен — закон сохранения момента количества движения.

П. На материальную точку действует сила F = (-сх, -сх₂> 0). Проекция силы F на ось Ох₃ равна нулю и, значит, mx₃ = 0 => тх₃=const. Количество движения в проекции на ось Ох₃ сохраняется. Момент силы относительно начала координат.

Здесь е, е₂, е₃, — орты координатных осей. Поскольку Л^(?)е₃ = = 0, то Ge₃ = т (х_хх₂ —х₂х_]) = const — закон сохранения момента количества движения относительно оси 0х_у Заметим, что для вычисления момента силы или количества движения относительно оси необходимо вычислить соответствующий момент относительно какой-либо точки, лежащей на этой оси, и спроектировать полученный вектор на ось.

Рис. 14 Рис. 15.

В цилиндрической системе координат х₍ = р cos <�р, х₂ = р sin <�р и т~'Ge₃= р²ф. Рассмотрим движение проекции точки на плоскости Ох^х₂ (рис. 14). Плошадь сектора КМ’О равна.

Величина S называется секторной скоростью и постоянна, так как она пропорциональна значению интеграла момента количества движения. Другими словами, справедлив закон площадей: если момент силы относительно неподвижной оси Ох_г равен нулю, то радиус-вектор проекции материальной точки на плоскость Ох, х₂ за равные промежутки времени заметает равные площади.