Неопределенный интеграл. 
Формула Ныотона-Лейбница

Пусть f (z) — аналитическая функция в области D. Аналитическая в области D функция F (z) называется первообразной функции /(г), если F'(z) = f (z) для всех точек z из D. Ясно, что если к первообразной F (z) прибавить произвольную постоянную С, то снова получится первообразная F (z) 4- С. Покажем, что никаких других первообразных функция f (z) не имеет, а именно: все первообразные функции J (z) получаются из какой-либо одной первообразной F (z) прибавлением произвольных постоянных С. Другими словами, любые две первообразные Fi (z) и Fj (z) одной и той же функции f (z) отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Действительно, но определению первообразной, функции F (z), F-2{z)> а следовательно, и их разность.

анапитичны в области D, причем.

Отсюда получаем, что ^ = 0. т- = 0 и, следовательно, функции и

ох ах ‘.

и v не зависят от х. В силу условий Коши-Римана (6.4) также ^ =.

().

= 0, -Q- = 0. Значит, функции и и и не зависят и от у. Таким образом, функции u, v, а вместе с ними и функция <�р являются постоянными, и F_x(z) = F₂(z) + C.

Итак, множество всех первообразных функции /(г) записывается в виде F (z) + С, где F (z) — одна из первообразных и С — произвольная постоянная. Это множество называется неопределенным итпегралом от f (z) и обозначается J f (z)dz. Таким образом,.

Пусть f (z) аналитическая функция в односвязной области D. Возьмем две точки zq и z в D и рассмотрим интеграл.

вычисленный по какой-либо кривой, идущей от Zo к z и лежащей в D. Поскольку область D односвязна, то интеграл не зависит от выбора пути интегрирования (следствие 16.3). Если точка zq фиксирована, то интеграл (17.2) зависит только от точки 2 и, следовательно, является в D однозначной функцией переменною 2.

Теорема 17.1. Пусть функция f (z) аполитична в односвязной области D и Zq — некоторая фиксированная точка из D. Тогда функция Ф (2), определенная }Н1венством (17.2), такж.е аполитична в D и является первообразной функции f (z).

Доказательство. Возьмем в D произвольную точку 2 (рис. 34). Функция / является аналитической, а следовательно, и непрерывной в z. Поэтому для ^^ис‘ ^.

Дадим переменному z некоторое приращение Az. Тогда функция Ф (г) любого ? > 0 найдется такое 6 > 0, что окрестность точки 2 радиуса S лежит в D и.

Это и означает, что существует предел.

т.с. Ф'(г) = f{z). Теорема 17.1 доказана.

Следствие 17.2. Если f (z) — аналитическая функция в односвязной области D, то справедлива формула Ньютона Лейбница.

где F (z) — любая первообразная функции f (z), Zq и Z — любые точки из D, и интегрирование ведется по произвольному пути, лежащему в D.

Доказательство. Пусть F (z) — какая-либо первообразная функции f (z). Поскольку функция Ф (.г), определенная в (17.2), также является первообразной для f (z), то F (z) = Ф (г) + С, т. е.

где С — некоторая постоянная. Положив в этом равенстве z = zo, получим F (zo) = С. Подставляя в ту же формулу z = z и найденное значение С, имеем.

откуда следует (17.4).

Таким образом, определение первообразной и формула НыотонаЛейбница для функций действительного переменного и для аналитических функций комплексного переменного полностью совпадают. Благодаря этому интегралы от элементарных функций комплексного переменного вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. В частности, остается в силе известная таблица первообразных.

3 i.

При м е р 17.3. Найти интеграл J z²dz.

о.

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления интегралов. Однако следует помнить о границах применимости этой формулы: область аполитичности D функции }(z) должна быть односвязной. В противном случае интеграл (17.2) может зависеть от пути интегрирования, и тогда определяемая им функция Ф (г) будет многозначной.

Для иллюстрации рассмотрим функцию f (z) = /z, аналитическую всюду, кроме изолированной особой точки z = 0. Пусть D — комплексная плоскость с выброшенными точками отрицательной полуоси. Это односвязная область, и главная ветвь логарифма.

является в области D первообразной функции 1 /г (см. конец § 11). В D применима формула Ньютона Лейбница, которая дает.

где интегрирование ведется, но любой кривой, лежащей в D. Рассмотрим теперь интеграл.

вдоль произвольного пути Г, соединяющего точку 1 с точкой z и не.

Рис. 35.

проходящего через 0 (рис. 35). В частности, Г может обходить точку 2 = 0 любое (конечное) число раз. Пусть р — угол между радиусвектором точки С € Г и осью ОХ. Если С, = 1, то <�р = 0. При движении точки? по пути Г угол <�р будет непрерывно изменяться и достигнет значения argz + 2жп в конечной точке 2; здесь п равно числу обходов начала координат. Проведем вспомогательный путь Г1 из С = 1 в С = 2, лежащий в D (на рис. 35 Г i показан пунктиром). Пусть Г]" — путь, совпадающий сГ_ь но проходимый в обратном направлении. При движении по Г~[ от 2 до 1 угол ip изменяется на — arg 2, а при движении по Г от 1 до 2 — на arg 2 + 2пп. Поэтому при движении от z до z но пути Г_х U Г угол if изменится на 27гп. Отсюда следует, что путь Tj~ U Г можно непрерывно деформировать в п-кратно проходимую окружность, не задевая при деформировании точку 0 (на рис. 35 эта окружность показана пунктиром, а п = 2). Согласно формуле (1G.6), при каждом обходе окружности интеграл от функции 1/С изменяется на 2тгг (со знаком или «в зависимости от направления обхода). Поэтому.

Следовательно,.

откуда получаем.

Таким образом, интеграл (17.5) дает многозначную функцию Ln z.