Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Задания для самостоятельного решения

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 дсн. ед., в мягкую зиму — 8,5 ден. ед., в обычную — 9 дсн. ед., а в холодную — 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: в мягкую зиму достаточно 6 т, обычную — 7 т, холодную — 8 т. Очевидно, что затраты… Читать ещё >

Задания для самостоятельного решения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

  • 4.1. Две телевизионные компании (А и Б) планируют к размещению в эфире по две передачи (новостную и спортивную). Новости компании, А более популярны, чем Б, но компания Б готовит лучшие спортивные передачи. Опросы показали, что если, А и Б одновременно размещают новостную программу, то доля аудитории составит 55 и 45% соответственно, если обе компании демонстрируют спортивную программу, то 44 и 56%. Если компания, А показывает спорт в то время, как Б — новости, доля аудитории каждой компании — 50%. Если, А показывает новости, а Б — спортивные репортажи, доля аудитории составит 52 и 48%. Решите игру. Как изменится решение при других соотношениях аудитории компаний?
  • 4.2. Две фирмы производят два конкурирующих товара, контролируя по 50% рынка. Если одна из фирм будет рекламировать свои товары, то другая потеряет определенный процент клиентов. Известно, что 50% клиентов получают информацию через телевидение, 30% — через газеты, остальные 20% — по радио. Какие средства рекламы следует выбрать фирмам? Задачу решите методами теории игр. Какие недостатки имеет данная постановка задачи? Предложите улучшенный вариант постановки задачи и ее решение.
  • 4.3. Предположим, что вы хотите вложить на фондовой бирже 10 000 руб. в акции компаний, А и Б. Вероятность повышения (понижения) котировок не прогнозируется. Прибыль от инвестиции за один год (руб.):

При повышении котировок.

При понижении котировок.

Акции компании А.

Акции компании Б.

4.4. Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 дсн. ед., в мягкую зиму — 8,5 ден. ед., в обычную — 9 дсн. ед., а в холодную — 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: в мягкую зиму достаточно 6 т, обычную — 7 т, холодную — 8 т. Очевидно, что затраты домовладельца зависят от количества угля, запасенного им летом. При необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой, однако продать невостребованный уголь возможности не будет.

Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение по закупке угля для домовладельца с точки зрения минимизации затрат на приобретение угля на год (т.е. принять, что оставшийся уголь уже не будет востребован). Объясните результат. В чем недостатки использования методов теории матричных игр для дайной ситуации? Какие иные методы здесь можно использовать для принятия решения (см. приложение П1)?

  • 4.5. В зависимости от характера зимы потребление мазута па теплоэлектростанции составляет 7, 8 или 9 топл. ед. Отпускная цена мазута осенью — 4 ден. ед. за 1 тонл. ед. Если заготовленного мазута окажется недостаточно, то придется закупить недостающее количество мазута по отпускной цене. Если запас превысит потребность, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. за 1 топл. ед. мазута.
  • а) Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение, но закупке мазута.
  • б) Как изменится решение, если закупать недостающее количество мазута придется по цене, превышающей отпускную на 50%? Формализуйте эту ситуацию в видс игры. Если для данной ситуации оптимальное решение определяется в смешанных стратегиях, какой экономический смысл оно имеет?
  • 4.6. Капитан рыболовного судна выбирает район лова. Районы, А и Б стабильно обеспечивают 30 и 40% плана соответственно. Район В — район рискованного промысла, где улов может составлять 100 либо 10% плана.
  • а) Формализуйте ситуацию в виде матричной игры и решите ее.
  • б) Изменится ли решение, если известно, что 100%-ный улов в районе В происходит в 2/3 случаев, а 10% — в 1/3 случаев?
  • (1 -1 -1 1
  • 4.7. А прячется в одном из двух мест, Б его ищет. Предложите экономическую интерпретацию такой игры. Найдите оптимальные стратегии игроков при различных вариантах исходов игры. Объясните полученные результаты: а)
Задания для самостоятельного решения.
  • 4.8. К туристу (А) подходит незнакомец (Б) и предлагает сыграть в игру «Орел и решка». Если у, А «орел», а у Б «решка», А получит 30 деп. ед. в местной валюте; если у, А «решка», а у Б «орел» — то всего 10 дсн. сд. Если выборы совпадут, то «для справедливости», как говорит Б, А заплатит ему 20 ден. ед. Определите оптимальную стратегию каждого игрока. Как эти стратегии могут быть практически реализуемы? Рассмотрите два варианта игры: а) выбор стратегий определяется игроками самостоятельно; б) выбор стратегий определяется случайно (по броску монеты). Сравните результаты и сделайте выводы.
  • 4.9. Вас пригласили на телевизионную игру «Колесо фортуны». Колесо управляется электронным образом с помощью двух кнопок, которые сообщают колесу сильное (1) или слабое (2) вращение. Само колесо разделено на два равных сектора — белый (Б) и красный (К). Плата, которую вы получаете за игру, зависит от того, какой сектор остановится напротив стрелки, и равна следующему:

Кнопки.

Сектор

Б.

К.

— 200.

— 2000.

Вы знаете, что вам предоставят возможность сыграть семь раз. Как вы будете играть? Попытайтесь вначале ответить на этот вопрос, не обращаясь к методам теории игр. Затем формализуйте эту ситуацию в виде игры, решите се и объясните результаты. Рассмотрите игру как игру двух рациональных игроков (например, в предположении, что второй игрок может заранее запрограммировать последовательность остановки колеса).

4.10. Найдите решение игры, предварительно упростив ее:

Задания для самостоятельного решения.

  • 4.11. Задача о Шерлоке Холмсе и профессоре Мориарти (почти по А. КонанДойлу). Шерлок Холмс, скрываясь от профессора Мориарти и заскакивая в отходящий вагон поезда, следующего из Лондона в Дувр, замечает на платформе Мориарти и понимает, что профессор Мориарти замечает его (общее знание!). Мориарти может взять специальный поезд и догнать Холмса в Дувре. Холмс может продолжить поездку в Дувр или выйти в Кентберри — единственной промежуточной станции между Лондоном и Дувром. Если Холмс достигнет Дувра, тогда как Мориарти будет поджидать его в Кентберри, то Холмс может легко скрыться за границей. Если Мориарти настигнет Холмса на любой из двух станций (Кентберри или Дувр), то исход будет самым плачевным для Холмса. Согласно принципу общего знания все эти исходы известны как Холмсу, так и Мориарти. «Платежи» Мориарти можно сформулировать следующим образом:
    • • встретить Холмса на платформе в Дувре или Кентберри: 100 (Холмс навсегда выходит из игры);
    • • разминуться с Холмсом:
      • а) Холмс вышел в Кентберри, а Мориарти ждет его в Дувре: 0 (ничего не потеряно: Холмс остался в Англии и Мориарти не теряет надежду найти его);
      • б) Холмс вышел в Дувре, а Мориарти ждет его в Кентберри: -50 (Холмс скрылся, и найти его будет теперь непросто).

Постройте модель данной ситуации в виде матричной игры. Найдите оптимальные решения игроков. (Для интересующихся творчеством А. Конан-Дойла: сравните ваше решение с исходом литературного произведения («Последнее дело Холмса»).).

4.12. Нападающий готовится пробить серию из 10 ударов по воротам, вратарь готовится к их защите. Нападающий может ударить в правый или левый угол ворот; вратарь, пытаясь угадать направление удара, готовится к прыжку влево или вправо от себя. Результаты игры представлены матрицей.

Задания для самостоятельного решения.

(если нападающий бьет вправо, а вратарь готовится к прыжку влево, то в среднем в воротах будет семь мячей из 10; если же вратарь готовился к прыжку вправо, то в воротах будут 10 мячей из 10, и т. д.)[1].

Для нападающего найдите стратегию, обеспечивающую максимальное гарантированное число забитых мячей независимо от тактики вратаря, а для вратаря — минимальное гарантированное число пропущенных мячей независимо от тактики нападающего. Какую экономическую интерпретацию можно предложить для данной игры?

4.13. Администрация и сотрудники предприятия совместно разработали несколько различных вариантов оплаты труда в зависимости от видов работы и социальных льгот по каждому виду работы. Эти варианты представлены в таблице (ден. ед./ч).

Виды социальных льгот.

Работы, выполняемые сотрудниками.

Предложите компромиссный вариант вида выполняемых работ и предоставляемых социальных льгот. Какова величина оплаты труда при таком варианте?

4.14. Имеются две карты: старшая и младшая. Первый игрок с равной вероятностью вытаскивает одну из карт, причем делает это втайне от второго игрока. Затем первый игрок решает: либо дать 1 ден. ед. второму игроку, либо играть дальше. В последнем случае второй игрок принимает решение: либо спасовать, и тогда он даст 1 ден. ед. первому игроку, либо играть дальше. В последнем случае карта первого игрока открывается, и второй игрок платит 4 ден. ед. первому игроку, если это оказалась старшая карта, иначе первый игрок платит 5 ден. ед. второму игроку.

Как можно смоделировать эту игровую ситуацию в виде игры двух лиц с нулевой суммой в нормальной форме? Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры. Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

4.15. Рассмотрите игру Задания для самостоятельного решения.

Проверьте, что стратегии (1/6, 0, 5/6) и (49/54, 5/54, 0) являются оптимальными для первого и второго игроков соответственно, и найдите цену игры.

4.16. Прибыль сельскохозяйственного предприятия (млн ден. ед.) от выращивания двух культур К, и К2 в зависимости от состояний погоды представлена в таблице:

Засушливое лето.

Нормальное лето.

Дождливое лето.

К,.

к2

Определите оптимальный план посева культур.

4.17. Рассмотрите игру Задания для самостоятельного решения.

Сколько оптимальных стратегий имеется у первого и второго игрок?

4.18. Фирма, занимающаяся производством и переработкой сельскохозяйственной продукции, может: 1) сразу предложить продукцию на рынок; 2) продавать после небольшого периода хранения; 3) продавать после дополнительной обработки. Потребители могут приобрести продукцию: 1) немедленно; 2) в течение небольшого времени; 3) в течение длительного периода времени. В зависимости от выбранных стратегий поведения на рынке и сложившейся конъюнктуры доход предприятия определяется следующей таблицей:

Выбор потребителей.

Стратегии поведения.

Определите оптимальные пропорции производства и переработки продукции. Корректна ли такая модель для анализа данной ситуации?

4.19. Решите предыдущую задачу в случае, если в платежной матрице указаны затраты предприятия. Проанализируйте решение. Можно ли формально-оптимальное решение этой игры считать разумным? Объясните ответ. Как еще можно решить эту задачу?

Задания для самостоятельного решения.

4.20. Страна, А получает информацию о предполагаемом нападении на ее территорию страны Б двумя типами самолетов. На международном рынке вооружений представлены три типа средств поражения воздушной цели (ПВО). Вероятность поражения самолета средством ПВО определяется матрицей[2]

У страны, А оборонный бюджет располагает 1 млрд ден. ед. на защиту от предполагаемого нападения. Определите оптимальное распределение средств оборонного бюджета на приобретение видов ПВО, обеспечивающее наибольшую вероятность поражения самолетов противника. Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры.

4.21. Сведите к задаче линейного программирования матричную игру, в которой платежи первого игрока задаются следующей таблицей:

— 7.

— 7.

— 10.

Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры.

  • 4.22. Составьте платежную матрицу для известной детской игры «Камень, ножницы, бумага» и найдите ее решение.
  • 4.23. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов (1,2,3). Спрос может иметь три состояния (1, 2, 3) и нс прогнозируется. Определите оптимальные пропорции в закупке товаров при следующем распределении прибыли:

Спрос.

Тип товара.

4.24. Два предприятия (А и Б) выделяют денежные средства на строительство четырех объектов. Из-за особенностей вкладов и местных условий разность прибыли предприятий, А и Б различна:

— 1.

— 1.

— 1.

Найдите оптимальные стратегии предприятий.

  • 4.25. Магазин может закупить для реализации 10, 15 или 20 т скоропортящегося товара по цене 30 ден. ед/кг. В зависимости от уровня спроса (пониженный, умеренный, повышенный) в день реализации может быть продано 10, 15 или 20 т товара, но цене 50 ден. ед /кг. Остаток товара может быть реализован на следующий день, но цене 20 ден. ед/кг. Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение по закупке товара.
  • 4.26. Решите матричную игру, в которой платежи первого игрока задаются следующей таблицей:

— 5.

— 1.

— 2.

— 1.

— 2.

— 3.

Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

4.27. Имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда: Фонд 1, Фонд 2, Фонд 3. Доход от инвестиций может измениться в зависимости от условий рынка, которые нс прогнозируются. Таблица содержит значения доходности инвестиций при трех возможностях развития рынка:

Фонды.

Доходность инвестиций, %.

ухудшающаяся.

умеренная.

растущая.

Фонд 1.

Фонд 2.

— 1.

Фонд 3.

Определите оптимальную стратегию инвестирования.

4.28. Найдите решение следующих игр методом Брауна — Робинсон (10—20 итераций) и с помощью двойственной задачи линейного программирования и сравни;

те результаты: а).

' 4 -2 0 ' 0 1 2.

;б).

'1 0 -Г] 1 -1 2.

;в).

(0 3 1) 4 1 2.

;г).

( 20 -15 -10 А -5 10 0.

— 3 3 -1.

У.

0 2−4.

У.

2 0 3.

^ У.

— 20 -10 30.

^ у.

Оцените сходимость метода Брауна — Робинсон сравнением результатов на 5, 10,15 и 20-й итерациях.

4.29. Два игрока, не глядя друг на друга, кладут на стол по карте красного, зеленого или синего цвета. Игроки сравнивают цвета карт и расплачиваются в соответствии с платежной матрицей игры.

Задания для самостоятельного решения.

Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры. Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

  • 4.30. «Игра полковника Блотто». Два противника, А и Б ведут борьбу за два пункта. Под командованием, А находится два полка, под командованием Б — три. Стороны должны распределить их между пунктами. Выигрывает сторона, направившая на пункты большее количество солдат. Пусть я, и а2 — количество полков, посланных стороной, А на пункты 1 и 2 соответственно. Аналогично й, и Ь2 — распределения полков противника. Выигрыш Л равен:
    • • й, + 1, если ах > Ь{>
    • • й2 + 1, если а2 > й2;
    • • -(а, + 1), если ах < 6,;
    • ~(а2 + 1), если а2 < Ь2;
    • • 0, если а{ = й,;
    • • 0, если а2 = Ь2.

Найдите оптимальное распределение полков противников методами теории игр. Предложите возможную социально-экономическую интерпретацию игры и ее решения.

  • 4.31. Два игрока имеют право загадывать целые числа от 1 до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый — второму. Сформируйте платежную матрицу и решите игру.
  • 4.32. Конструкторские бюро КБ 1 и КБ 2 участвуют в конкурсе проектов двух бытовых приборов. В КБ 1 этим заняты четыре отдела, в КБ 2 — три отдела. Комиссия, оценивающая проекты, лучшим признает тот, которым занималось большее количество отделов, и начисляет лучшему проекту один балл. При равенстве задействованных отделов баллы не начисляются. Кроме одного балла за лучший проект победившему КБ начисляется столько баллов, сколько отделов было занято аналогичным проектом в конкурирующем КБ. Общее количество баллов каждого КБ равняется сумме баллов, набранных по обоим проектам. Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение, но разработке проектов.
  • 4.33. Армия А, имеющая один самолет, может направить его в атаку на одну из трех целей. Армия Б, обладающая единственным зенитным орудием, может установить его для защиты одной из возможных целей. Если цель не защищена, она разрушается. Ценность целей составляет 3, 2 и 1 соответственно. А стремится максимизировать ожидаемый ущерб от нападения, а Б стремится его минимизировать. Представьте ситуацию в виде игры и решите ее.
  • 4.34. В новом жилом массиве создается ателье для ремонта телсвидсоаппаратуры. Для упрощения примем, что поток заявок на ремонт может составить 2 тыс., 4 тыс., 6 тыс. и 8 тыс. в год. Накопленный опыт аналогичных предприятий показывает, что средняя прибыль от реализации одной заявки составляет 900 руб., потери, вызванные отказом в ремонте из-за недостатка мощностей, оцениваются в 500 руб., а убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок обходятся в 600 руб. в расчете на каждую недополученную заявку. Представьте ситуацию в виде игры и предложите рекомендации по мощности создаваемого ателье.
  • 4.35. Фирмы, А и Б производят однородный товар, пользующийся спросом в течение п единиц времени. Доход от продажи товара в единицу времени составляет с денежных единиц. Компания Б в ходе конкурентной борьбы стремится вытеснить компанию, А с рынка сбыта, способствуя своими действиями минимизации ее дохода. При этом она не считается с временными потерями части своего дохода. Действующее законодательство нс позволяет прибегать к демпинговой ценовой политике (заведомому занижению цены на товар). Единственным допустимым способом достижения своей цели для компании Б (как и компании, А в целях защиты своих интересов па рынке сбыта) остается повышение качества товара и надлежащий момент поставки его на рынок. Уровень спроса на товар зависит от его качества, и реализуется на рынке тот товар, качество которого выше. Повышение же качества товара требует дополнительных затрат времени на совершенствование технологии его изготовления. В связи с этим предполагается, что качество товара тем выше, чем позже он поступает на рынок. Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение для каждой из фирм.
  • [1] Математика и игра / сост. А. Ю. Котова. М.: Бюро Квантум, 2002.
  • [2] На основе задачи, предложенной в работе: Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр.
Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой