Магнитные свойства атомов. 
Магнитомеханические эффекты. 
Опыт Штерна и Герлаха. 
Спин электрона

Магнитные свойства, как и другие свойства атомов, должны рассматриваться по правилам квантовой механики. Однако воспользуемся более простыми соображениями, которые в конечном счете приводят к тем же формулам, что и точный квантово-механический расчет.

Согласно представлениям квантовой теории Бора электрон обращается вокруг ядра по стационарной круговой (или эллиптической) орбите (рис. 2.19). С таким орбитальным движением электрона можно связать кольцевой ток, характеризующийся силой тока / =е/Г, где е — заряд электрона; Т = 2л/о> — период его обращения вокруг ядра. Кольцевому току отвечает магнитный момент:

где S — площадь орбиты электрона, S = яг²; v — линейная скорость, v = cor; т_е — масса электрона.

Рис. 2.19.

Поскольку r±v, то величина rm_ev представляет собой момент импульса орбитального движения электрона. Если орбита находится в плоскости х_у у, то rm_ev есть z-я компонента вектора момента импульса — l_z. Таким образом, величина М в формуле (2.113) также должна иметь смысл z-й компоненты вектора магнитного момента. Другими словами, получаем соотношение.

или, в векторной форме:

Эти соотношения показывают, что магнитный момент и момент импульса орбитального движения пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности.

называют гиромагнитным отношением. Гиромагнитным отношением называют также безразмерную величину.

В случае орбитального движения электронаg= 1.

Взаимосвязь механического и магнитного моментов атомов приводит к ряду физических эффектов, которые называются магнитомеханическими. Суть этих эффектов состоит в том, что если, например, изменить направление намагничивания образца, то образец, как целое, должен приобрести определенный момент импульса, и наоборот. Первые опыты по обнаружению магнитомеханических эффектов были проведены Эйнштейном и де Гаазом, а также Барнеттом, которые ставили задачу определения гиромагнитного отношения.

Рис. 2.20.

Опыт Эйнштейна и де Гааза (1915) заключался в следующем: цилиндрический образец из ферромагнитного вещества подвешивали на тонкой кварцевой нити внутри проволочной катушки (рис. 2.20). При пропускании тока через катушку образец намагничивается, т. е. его элементарные магнитики ориентируются вдоль магнитного поля. Если быстро поменять направление тока, то стерженек должен перемагнититься. Это значит, что суммарный магнитный момент атомов должен измениться на величину 6M = y6L, где 6L — изменение суммарного механического момента импульса атомов.

Поскольку момент силы, действующей на образец в магнитном поле, в данном случае равен нулю МхВ = 0, то полный момент импульса, состоящий из момента импульса атомов L и момента импульса образца как целого L, должен сохраняться:

L + L, = const. Отсюда следует, что 6L, = -6L.

Следовательно, |б!Ц| = |бМ|Д • Таким образом, при перемагничивании образца он начинает вращаться, при этом нить закручивается. Если / — момент инерции стержня; о — частота его вращения, то б/., = /со, при этом кинетическая энергия вращения образца пере;

/О)² 1 _ 2.

ходит в потенциальную энергию закрученной нити: —— = — Dip, где D — модуль кручения нити, D = /(Oq; ср — угол отклонения; со₀ — частота собственных колебаний стержня. Из выписанных формул получаем у = — <�о₀6М/срD. Все величины в правой части измеряют на опыте, так что можно вычислить гиромагнитное отношение. В действительности угол ср оказывается очень малым и для его увеличения многократно последовательно перемагничивают образец с частотой, равной частоте его собственных колебаний. Эксперименты показали, что ^=2 вместо ожидаемого значения g= 1. Это было совершенно непонятно, пока не было обнаружено новое свойство электронов — спин.

Опыт Барнетта (1914) в противоположность опытам Эйнштейнаде Гааза демонстрирует эффект намагничивания образца вследствие его быстрого вращения. Также было показано, что гиромагнитное отношение #=2.

Согласно квантовой механике проекции вектора момента импульса принимают значения l_z=mh. Поэтому проекции вектора магнитного момента также являются квантованными:

Отсюда видно, что существует «квант магнитного момента»:

Эта величина, составленная из универсальных констант, называется магнетоном Бора. Из формулы (2.118) становится понятным название числа т как магнитного квантового числа: оно определяет проекции магнитного момента на выделенную ось.

Согласно (2.115) квантовые свойства вектора магнитного момента такие же, как свойства вектора момента импульса, т. е. одновременно существуют лишь вектор магнитного момента и одна из его проекций на выделенную ось. Другими словами, для магнитного момента справедлива та же картина пространственного квантования, что и для момента импульса. Эти представления о пространственном квантовании проверяли в эксперименте Штерн и Герлах в 1921; 1922 гг. Идея их опыта заключалась в следующем: чтобы выявить пространственную ориентацию магнитного момента атома, необходимо использовать внешнее магнитное поле. Оно не должно быть однородным, так как в этом случае результирующая сила, действующая на магнитный момент, равна нулю. В неоднородном магнитном поле с индукцией В на магнитный момент действует сила:

Значение этой силы зависит от угла между магнитным моментом и градиентом магнитного поля. Следовательно, при прохождении сквозь такое поле пучок атомов будет отклоняться. Если выбрать направление магнитного поля за ось z, то в этом направлении на магнитный момент действует сила:

Магнитный момент прецессирует вокруг направления магнитного поля, описывая конус с осью вдоль оси z. В этом случае проекции М_х, М_у периодически изменяются со временем с частотой прецессии, так что их средние значения по времени обращаются в нуль. Поэтому при движении пучка атомов перпендикулярно магнитному полю на них будет действовать в направлении поля усредненная сила:

Рис. 2.21.

Отсюда видно, что величина и характер отклонения атомов, определяемые усредненной силой, зависят от возможных значений проекции магнитного момента М,. По классическим представлениям эти значения непрерывно распределены в интервале -1м|…+|м|. в ЭТОМ случае пучок атомов после прохождения неоднородного магнитного поля должен оказаться размытым (рис. 2.21, а). Если же магнитные моменты атомов имеют определенные направления в пространстве, то пучок должен расщепиться на несколько частей (рис. 2.21, б).

Осуществление эксперимента было связано с трудностями. Прежде всего, необходимо было создать сильно неоднородное магнитное поле. Его характерный.

Рис. 2.22.

чение, а направление градиента —.

масштаб неоднородности должен быть сравнимым с атомными размерами. Для этого использовали электромагнит с полюсами, изображенными на рис. 2.22. Вблизи нижнего лезвиеобразного полюса и сразу над ним магнитное поле В имеет наибольшее зна;

дВ

oz

совпадает с направлением вектора В. Атом с массой т_а, движущийся параллельно лезвию непосредственно над ним, под действием средней силы (2.122) приобретает ускорение w = (^f_z^/m_a в направлении градиента dB/dz, который перпендикулярен движению атома. Если атом проходит область магнитного поля за время /, то он отклоняется от первоначального направления на величину z = wt²/2. Время прохождения атомом равно t = b/v, где b — длина магнитных полюсов; v — средняя скорость движения атома. Таким образом, отклонение атома в неоднородном магнитном поле можно оценить по формуле.

По предварительным оценкам, ожидаемое отклонение атомов должно быть около 0,01 мм. Измеряя его на опыте и зная другие величины, из (2.123) можно определить величину М^. Ее численное значение оказалось равным магнетону Бора.

Рис. 2.23.

В качестве рабочего вещества Штерн и Герлах использовали серебро, которое испарялось в электрически нагреваемой печке (рис. 2.23). Кинетическая энергия атомов серебра определялась значением температуры нагревательного элемента (~ 1000 К). Такой энергии испарения было недостаточно, чтобы изменить энергетическое состояние атомов. Пучок атомов выходил сквозь круглое отверстие А площадью 1 мм². С помощью диафрагм Z), D₂ выделяли пучок, сечение которого не превышало предполагаемую величину отклонения. Систему отверстий юстировали таким образом, чтобы пучок шел параллельно острию лезвия. Длина полюсов была 3,5 см. Использовали магнитное поле /?= 0,1 Тл, при градиенте dB/dz «ЮОТл/м .

Опыт проводили в вакууме, чтобы избежать рассеяния пучка на молекулах остаточного газа. Пучок атомов после прохождения между полюсами магнита осаждался на стеклянной пластинке Р в течение 8 ч.

Результаты опыта Штерна и Герлаха отчетливо показали, что пучок атомов серебра расщепляется на две компоненты (см. рис. 2.21, б). На рис. 2.24 показан результат расщепления атомов лития.

В этом авторы видели прямое экспериментальное доказательство квантования в магнитном поле. Они основывались на существовавшей в то время боровской квантовой теории, которую обобщил Зоммерфельд. Согласно этой теории значение вектора момента импульса I должно быть целым кратным постоянной h, причем нулевое значение исключалось. Считалось, что в основном состоянии атома серебра величина |l| = Л, а число проекций момента импульса на выделенную ось, по Зоммерфельду, равно двум: l_z=±h. Это, казалось бы, и подтверждает опыт Штерна и Герлаха. Между тем этот вывод неправильный, так как неверными были теоретические представления Зоммерфельда, на что впервые указали Эйнштейн и Эренфест (1922). Это служит наглядным примером того, как иногда благодаря случайности эксперимент может подтверждать неправильные теоретические положения. Случайным в опыте Штерна и Герлаха был выбор атомов серебра. Если бы они взяли другое вещество, например серу, то никакого согласия с теорией Зоммерфельда не было бы. На самом деле основным состоянием атома серебра, как и атомов лития, является 5-состояние, для которого орбитальное квантовое число /=0. Также основным является 5-состояние для атомов водорода и щелочных металлов. Опыты с пучками этих атомов тоже приводят к расщеплению на две компоненты. Но в 5-состоянии магнитный момент атомов, связанный с орбитальным движением электронов, отсутствует. Следовательно, никакого расщепления пучка не должно было бы происходить. Наблюдающееся на опыте расщепление означает, что оно обусловлено не орбитальным движением электронов, а какими-то другими причинами. Правильное истолкование.

Рис. 2.24.

результатов опыта Штерна и Герлаха связано с важнейшим свойством электрона — спином.

Для объяснения опытов Штерна и Герлаха голландские физики Уленбек и Гаудсмит в 1925 г. выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса s. Этот момент импульса называется спином (от англ, spin — вращаться, вертеться). Уленбек и Гаудсмит связывали со спином наглядный образ — вращение электрона вокруг собственной оси. Однако такое представление оказалось неправильным. Считается, что спин — чисто квантовое свойство электрона, что автоматически вытекает из квантово-релятивистской теории электрона, разработанной Дираком (1928).

Отметим, что независимость гиромагнитного отношения от постоянной Планка дает основание рассматривать механизм образования спина электрона с помощью последовательных методов классической физики.

Спин, как и всякий механический момент импульса, обладает теми же общими свойствами, что и вектор момента импульса орбитального движения. Напомним, что для орбитального движения можно говорить о величине (длине) вектора момента импульса.

|l|² =h²l (l +) и его проекции на выделенное направление /, = m₍h. Здесь магнитное квантовое число, связанное с орбитальным движением, обозначено как т_г Оно принимает 21+ 1 значений. Аналогичные соотношения можно написать для вектора спинового механического момента:

где s — спиновое квантовое число; т₅ — магнитное спиновое квантовое число, которое принимает 25+1 значений.

С собственным механическим моментом импульса электрона связан магнитный момент M_sz. Наблюдающееся в опытах Штерна и Герлаха расщепление пучка атомов, находящихся в 5-состоянии, вызвано, таким образом, спиновым магнитным моментом электрона (магнитный момент ядер атомов оказывается не существенным). Согласно этим опытам, число проекций магнитного спинового момента N4 равно двум, т. е.

Отсюда следует важный вывод, что спиновое квантовое число имеет полуцелое значение:

Следовательно, для спина электрона: |s|² ="^²" s_z = ±у (рис. 2.25). В этом состоит своеобразие спина электрона: он характеризуется полуцелым значением квантового числа. Часто спиновое квантовое число s также называют спином.

Рис. 2.25.

Из опытов Штерна и Герлаха следует, что величина спинового магнитного момента равна магнетону Бора:

Таким образом, отношение магнитного спинового момента к механическому спиновому моменту равно.

Это означает, что отношение магнитного спинового момента к спину в два раза больше гиромагнитного отношения (2.116). Такой результат согласуется также с результатами других опытов, в частности, Эйнштейна—де Гааза и Барнетта по определению гиромагнитного отношения.

Дальнейшие эксперименты показали, что g-фактор для электрона немного больше двух: g=2(l +а). Это связывают с аномальным магнитным моментом электрона (Куш, Фоли, 1947). За его открытие Куш был удостоен Нобелевской премии в 1955 г. Это стимулировало развитие теории взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Согласно современным измерениям а-0,11 596 567 с точностью 3,3−10^-9. Были проведены также прямые эксперименты (Демелт, 1958), которые непосредственно доказали, что спин является собственной характеристикой электрона, а не характеристикой электронов как составных частей атома.

Спин, наряду с зарядом и массой, относится к числу фундаментальных характеристик электрона, но он не является его исключительным свойством. Спином характеризуются все частицы микромира, при этом спиновое квантовое число может быть различным. Существуют частицы, для которых оно полуцелое — электрон, протон, нейтрон и др. Такой класс частиц называют фермионами. Есть частицы с целым спином, включая нуль. Их называют бозонами. Например, спин фотона равен единице, а-частицы — нулю и т. д.

Современные высокочувствительные экспериментальные методы с помощью магниторезонансного силового микроскопа позволяют непосредственно регистрировать спины единичных электронов.

Движение частицы с зарядом е и массой т в электромагнитном.

д

поле с напряженностью электрического поля Е = —VP ^и век_

тором индукции магнитного поля В = rot, А описывается с помощью функции Гамильтона # =—(Р-еА)² +eV, где Р — вектор обоб;

2т^{4 у}

щенного импульса; А — вектор-потенциал; V — скалярный потенциал. Чтобы записать уравнение Шредингера для заряженной частицы в электромагнитном поле, необходимо определить оператор Гамильтона. С этой целью вводят оператор обобщенного импульса: Р = —/ЛV.

Раскроем в явном виде оператор (р — е ^ =У^ (р. — eAj). Например, (Р_х ~еА_х] = (Р_х-еА_х)(Р_х ~еА_х) = Р²-е (Р_хА_х + А_хР_х) + е²А²_х .

Л, А дА / ^Л 2 а Л А Поскольку P_xA_x-A_xP_x=-ih—±, то (Р_х-еЛ,) = />_х -2Ы_х/>, + дА _{7 7} ^дх

+ieh—— + е А_х. Аналогично можно преобразовать остальные два дх

члена. В результате сложения находим выражение для оператора Га;

а 1 а «р л iefi е² 1.

мильтона: Н = — Р²—А Рч—divAH—А² +еУ + U. Здесь вве;

2 т т 2 т 2т

дена также потенциальная энергия ?/, связанная с силами неэлектромагнитного происхождения.

В случае постоянного магнитного поля движение электрона финитно в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям. Такое движение, согласно квантовой механике, должно квантоваться. Найдем уровни энергии этого квантованного движения (уровни Ландау).

Пусть однородное магнитное поле направлено вдоль оси г, т. е. В = (0, О, В). Тогда компоненты вектор-потенциала можно задать в виде: (А_х, 0, 0), где А_х = -уВ. Считая, что V=U= 0, запишем уравне;

2 2.

ние Шредингера: Дф- — By— + — #²у²ф= Это уравне;

2 т т дх 2т

ние можно решить с помощью разделения переменных: ф (х, у, г) = = ф (у)ехр{/(ах + 6г)}, где а, b — некоторые постоянные. Для функции ф (у) получаем уравнение: — ^ уф + (тш²/2)у²ф =.

2 т dy² /.

= (е-h²a²/2m-h⁷b²/2m^q>, где ш_с — циклотронная частота обращения электрона в магнитном поле, (о_с=еВ/т. После замены у' = у + Ьа/пно_сУ e = ?-fiV/2/w, полученное уравнение сводится к.

h² d²ф пин² _п

уравнению осциллятора:——- +—— У ф = еср. В § 2.5 найде;

2 т dy'² 2.

ны собственные функции и собственные значения этого уравнения. В данном случае получаем формулу для энергетического спектра:

E_nb = /io)_c (п -t-l/2)+ (hb'j j2m. Второй член в этом выражении определяет кинетическую энергию движения электрона вдоль силовой линии магнитного поля. Первый член описывает квантованные осцилляции вдоль оси у. При циклотронном обращении электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, оси х, у эквивалентны, поэтому аналогичные квантованные осцилляции происходят также вдоль оси х. Чтобы убедиться в этом, следует задать компоненты вектор-потенциала в виде: (0, А_у> 0), где А_у=хВ. В общем, уравнение Шредингера сводится к уравнениям двух независимых осцилляторов, если задать компоненты вектор-потенциала в виде: (А_х, А_у, 0), где А_х =-уВ/2, А_у =хВ/2. Квантованные значения энергии представляют собой энергию магнитного момента электрона, связанного с его циклотронным вращением в магнитном поле. Действительно, ?_я=-(М'В)=-Л/.В = (2л + 1) ц_бй, где р_Б — магнетон Бора (2.119).

Отсюда следует, что проекция магнитного момента электрона, совершающего циклотронное вращение воднородном магнитном поле, принимает целые кратные значения магнетона Бора.

Учет спина электрона существенно усложняет описание его движения в электромагнитном поле. Магнитный и механический спиновые моменты электрона связаны соотношением:

Во внешнем магнитном поле электрон приобретает дополнительную энергию Д? = -(М^В)=— (s-В). Вектору спина сопоставляется.

оператор спина, который подчиняется тем же правилам перестановки (2.109), что и вектор орбитального момента импульса. Однако, вектор спина особый — его проекция на любое направление может принимать только два значения. Это приводит к тому, что операторы i, ?, 5 представляют собой двухрядные матрицы. Обобщенное уравнение Шредингера для электрона со спином в электромагнитном поле называют уравнением Паули. Релятивистскую теорию, автоматически учитывающую спин электрона, построил Дирак в 1928 г.

Отметим еще один эффект, связанный со спином электрона. Спиновый магнитный момент электрона, движущегося в однородном магнитном поле, является источником электромагнитного излучения, которое называют спиновым светом.

ЗАДАЧИ.

1. Показать, что классическое представление о спине в модели электрона, вращающегося вокруг собственной оси, является неправильным.

Решение. Момент импульса электрона, который будем считать шариком радиусом г_е — е²/Ллс₀т_ес², вращающимся вокруг собственной оси — оси г, равен 5 = Л/2 = /(0, где / — момент инерции; со — угловая скорость вращающегося электрона. Так как / < m_fr², то й/2о) <�т_ег]. На экваторе электрона линейная скорость v = a>г_е. Таким образом, v>—-—^ _ _с__%]_37_с _ 68,5с, где, а — постоянная тонкой.

2 т/₉ 2е² 2а 2.

структуры. Это — физически абсурдный результат: линейная скорость v > с.

2. Показать, что излучающий атом передает излучению не только энергию, но и момент импульса.

Решение. Согласно (1.31) при излучении энергия электрона изменяется на величину dE = (е²/8л?₀г²)с/г. Момент импульса вращающегося электрона равен / = т_ег²со = е^т_ег/4ле₀. Здесь использовано соотношение.

(1.27), согласно которому о = ej^4л?₀т^г³. При излучении момент импульса электрона изменяется на величину dl = (e/2^_yjm_e/4nc₍₎r dr . Таким образом,.

Атом и излучение представляют собой замкнутую систему, в которой сохраняются полная энергия и момент импульса. Следовательно, излучение уносит с собой энергию — dE и момент импульса — dl. Если излучение отделилось от атома, то оно уже с ним не связано, и может рассматриваться как самостоятельная система, имеющая частоту со. Тогда из (1) следует связь между энергией излучения E_R и его собственным моментом импульса s_R:

Так как момент импульса — векторная величина, то отсюда следует:

поскольку единственное выделенное направление для излучения, распространяющегося со скоростью света, — это направление его распространения. Знак ± определяет направление вектора момента импульса по отношению к направлению распространения излучения и зависит от поляризации излучения (эффект Садовского, 1880).

3. Используя соотношение (3) предыдущей задачи, показать, что спиновое квантовое число для фотона равно единице.

Решение. Для фотона энергия Е = Ш. Таким образом, проекция вектора момента импульса фотона на направление его распространения равна т^ = ±Ь. Отсюда следует, что спин фотона равен 1.

4. Показать, что по классическим представлениям магнитный момент, связанный с орбитальным моментом импульса электрона в атоме, прецессирует в постоянном магнитном поле (ларморовская прецессия).

Решение. На магнитный момент М в магнитном поле В действует.

d

момент силы МхВ. По законам динамики имеем —=МхВ. С учетом.

d ivi dt

(2.115) получаем уравнение волчка —— = у[МхВ| = а>хМ. Оно описывает.

dt ^{1 1}

прецессию вектора М с угловой скоростью о> = -уВ = -еВ/2т_е (ларморовская частота).

5. Определить вероятности возможных значений проекции спина на ось т!, повернутую на угол 0 относительно оси z, если известно, что частица находится в состоянии с определенным значением проекции s_z=b/2.

Решение. По условию J_z = h/2. Проекция на ось г': ~s_z> = bj2cos0. По определению средних величин: J_z, = bj2(V^ -В' где W_± — вероятности значений s_z = ±b/2. Поскольку + W_ — 1, то получаем = cos²0/2, W_ = sin²0/2 .