Формула Марковица. 
Рынок ценных бумаг

Приравняв доходность к среднему, а риск к дисперсии, Марковиц превратил мощную алгебру математической статистики в инструмент селекции портфелей. Немедленным алгебраическим результатом была формула дисперсии суммы случайных переменных. «Мы, финансисты, живем с этой формулой более 40 лет, — вспоминает М. Миллер. — Она показывает среди прочего, что для индивидуального инвестора правильным объектом анализа всегда должен быть весь портфель, а не отдельные акции. Скрытый в отдельных акциях риск нельзя определить вне связи со всем портфелем, отдельно от ковариаций с другими его компонентами. Ковариации, а не просто число купленных бумаг, определяют выгоды от диверсификации в смысле снижения риска».

Ковариация показывает степень движения переменных в унисон. Положительная ковариация означает, что доходности меняются «нога.

в ногу", отрицательная — что они движутся больше в разнобой. Диверсификация снижает общий риск портфеля, когда ковариация доходностей активов в портфеле низка.

Формула дисперсии суммы случайных переменных, которую вспоминает Р. Мертон, приведена ниже для портфеля двух активов во всех вариантах движения цены и доходности (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Дисперсия портфеля двух активов — сумма четырех результатов.

Здесь X; — доля актива в стоимости портфеля, of — дисперсия каждой доходности, _ ковариация двух доходностей, р_у— — коэффициент парной корреляции двух доходностей. Чтобы узнать риск в портфеле, нужно сложить эти четыре результата. Складываем, и дисперсия портфеля предстает как линейная комбинация риска, т. е. сумма двух индивидуальных и одного общего риска, соединенных знаком плюс:

где xfof — риск от первого актива; xjoj — риск от второго актива; 2x_lx_]p_lJOjOj — интерактивный риск.

Интерпретировать ковариацию тяжело из-за больших численных значений и неинвариантности относительно смены масштаба. Поэтому для измерения силы связи между доходностями двух активов обычно используют коэффициент парной корреляции. Корреляция р_у— и ковариация связаны математически: р_у = cov (R_;, Rj) / (а, а_;). Статья Марковица 1952 г. была первой крупной публикацией о роли корреляции в создании портфеля.

Дисперсия доходности портфеля, которой измеряется портфельный риск, зависит от корреляции доходностей его активов:

• • при слабой корреляции интерактивный риск — низкий;
• • при сильной корреляции интерактивный риск — высокий;
• • при отрицательной корреляции интерактивный риск — отрицательный и общий риск слабее.

Таблица 7.4

Среднее и стандартное отклонение доходностей акций компаний АБВ, БВГ и ВГД.

Инвестор составляет линейные комбинации трех активов, чтобы узнать, какие комбинации в ожидании принесут 12%. Таковых две:

• 50% в БВГ и 50% в ВГД: 0,5 • 14% + 0,5- 10% = 12%;
• 20% в АБВ и 80% в ВГД: 0,2 • 20% + 0,8 • 10% = 12%.

Затем он рассчитывает корреляцию доходностей трех пар—АБВ и БВГ, АБВ и ВГД, БВГ и ВГД (табл. 7.5). Максимальная корреляция равна +1, минимальная -1. Максимальная положительная корреляция (+ 1) означает, что активы курсируют по рынку «ноздря в ноздрю», и нет смысла держать их в портфеле ради снижения риска. Это все равно что иметь две вешалки для одного пальто. Максимальная отрицательная корреляция (-1) означает, что активы курсируют в противофазе, и наличие их в портфеле в равных долях сводит риск к нулю и усредняет доходность. Баланс риска и доходности портфеля находится между этими крайностями.

Таблица 7.5

Корреляция доходностей акций компаний АБВ, БВГ и ВГД.

Наконец, надо выбрать портфель с минимальным риском и 12%-й доходностью. Инвестор рассчитывает дисперсию комбинаций БВГ (б) + + ВГД (в) и АБВ (а) + ВГД:

And the winner is… портфель БВГ + ВГД. У него значительная отрицательная корреляция, задающая меньший интерактивный риск (-0,080 против 0,019).

вица очень трудоемок. Даже для портфеля из двух активов он выглядит пугающе (табл. 7.3). Трудоемкость расчетов сдерживала распространение среднедисперсионного метода. Но была в этом методе еще одна загвоздка.

Историческая (прошлая, фактическая) статистика годится в качестве точки отсчета дисперсии и ковариации. Что касается среднего, простое усреднение доходности за ряд прошлых периодов, которое мы наблюдаем в работах Марковица, не дает надежных оценок ожидаемой доходности. И прогон ненадежных оценок через среднедисперсионный алгоритм расчетов может привести к портфелям, которые не приносят декларируемых выгод от диверсификации. Вот почему Миллер пишет, что «этот алгоритм бесполезен для построения оптимальных портфелей»¹.

Если «алгоритм бесполезен», то почему СПТ так популярна? Уже того, что сделал Марковиц помимо «алгоритма», достаточно для популярности. Дальнейшими успехами и «победному шествию» по планете СПТ обязана прежде всего Уильяму Шарпу, который трансформировал достижения Марковица в модель прайсинга капитальных активов (Capital Asset Pricing Model, САРМ)^[1][2]. В 1990 г. Миллер, Марковиц и Шарп получили Нобелевскую премию по экономике за работы по финансовой экономике (одну на троих).

• [1] Miller М. The History of Finance. An eyewitness account. P. 97.
• [2] Независимо от Шарпа и друг от друга Джон Линтнер, Ян Моссин и Джек Трейнорпредложили свои модели прайсинга капитальных активов, но Шарп был главный. Линтнер умер в 1983 г. Работа Трейнора не была опубликована. См.: LintnerJ. The Valuation ofRisk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets //Review of Economics and Statistics. February 1965; Mossin J. Equilibrium in a Capital AssetMarket // Econometrica. April 1966; Sharpe W. Capital Asset Prices: A Theory of MarketEquilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance. September 1964.