Б. б. Синтез цифровых фильтров

Разработка и практическое применение цифровых фильтров стали возможными во многом благодаря ряду важных соответствий между характеристиками цифровых и аналоговых фильтров.

Задача синтеза цифрового фильтра состоит в определении системной функции, расчете параметров цифрового фильтра, эквивалентного аналоговому прототипу, и в разработке на основе полученных данных алгоритма фильтрации. Цель синтеза цифрового фильтра заключается в том, чтобы цифровой тракт (АЦП и цифровой фильтр) вырабатывал для заданного класса входных сигналов u (t) последовательность выходных отсчетов y_T(t) = y_k, с гарантированной точностью совпадающих с дискретными значениями выходного сигнала аналогового фильтра-прототипа y (t).

Желаемые характеристики цифрового фильтра, задаваемые обычно в виде дробно-рациональной системной функции или частотных и временных характеристик, представляют собой исходные данные для задачи синтеза. Как отмечалось в гл. 4, передаточная функция аналогового фильтра задается формулой.

Аргументр в формуле (6.52) представляет собой оператор дифференцирования р = d/dt, а сама передаточная функция отражает дифференциальное уравнение аналогового фильтра, которое можно представить в виде.

где u (t) и y (t) — входной и выходной аналоговые сигналы.

Для синтеза цифровых фильтров необходимо осуществить прежде всего дифференцирование системной функции. Однако дифференцировать можно только непрерывные функции, а для дискретных числовых последовательностей операция дифференцирования не определена. Следовательно, цифровые фильтры не могут иметь математическую модель в виде дифференциального уравнения. Смысл практически всех методов синтеза цифровых фильтров сводится к замене операции дифференцирования некоторым дискретным ее эквивалентом. Таким образом, при синтезе цифрового фильтра выбирается гипотетический аналоговый фильтр, называемый аналоговым прототипом синтезируемого цифрового фильтра, и производится конвертация аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые.

Рассмотрим некоторые методы синтеза цифровых фильтров. Тремя наиболее распространенными методами конвертации аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые являются метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, метод инвариантного преобразования частотной характеристики (метод билинейного z-нреобразования) и метод дискретизации дифференциального уравнения аналогового фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования (инвариантности) импульсной характеристики. Метод синтеза основан на инвариантности (подобии) импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа и полученной из нес путем дискретизации импульсной характеристики цифрового фильтра (рис. 6.31).

а б.

Рис. 631. Интегрирующая цепь:

а — схема; б — аналоговая и дискретная импульсные характеристики Имиульсная характеристика дискретного фильтра {h_k} идентична характеристике аналогового фильтра h (t) в дискретные моменты nAt, п = 0, 1, … (т.е. в моменты взятия выборок).

Учитывая, что синтезируется физически реализуемая цепь, для которой импульсная характеристика равна нулю при t < 0, запишем выражение для импульсной характеристики цифрового фильтра:

Анализируемый метод синтеза цифрового фильтра осуществляется путем применения прямого z-преобразования к импульсной характеристике {h_k} (6.53) и вычисления системной функции //(г). Затем эту функцию сравнивают с общими выражениями (6.33) или (6.35) и определяют коэффициенты а_т и Ь_п соответственно нерекурсивной и рекурсивной частей алгоритма фильтрации.

Рассмотрим наглядный пример синтеза, основанный на дискретизации импульсной характеристики известного простейшего аналогового фильтра. Положим, что необходимо синтезировать нерекурсивной цифровой фильтр, подобный интегрирующей ЛС-цепи и имеющий заданную импульсную характеристику (рис. 6.31, а, б) (для упрощения принято, что в импульсной характеристике множитель 1/т., = /(RC) = 1):

Чтобы синтезировать нерекурсивный фильтр, ограничим число отсчетов его импульсной характеристики до трех: {h_k} = {1, ё~^ы/ е ^2л,/т" }.

Системную функцию цифрового фильтра определим, применив z-преобразование (6.31) к этой последовательности. Тогда.

Сравнив выражения (6.33) и (6.55), находим, что системная функция определяет структуру цифрового нерекурсивного фильтра второго порядка.

Сделав замену в формуле (6.55) z = e^JloAt, запишем частотный коэффициент передачи:

Выполнив 2-преобразовапие данной импульсной характеристики, найдем системную функцию фильтра:

Синтезируем рекурсивный цифровой фильтр для случая, когда импульсная характеристика (6.54) — бесконечная дискретная последовательность отсчетов:

По аналогии с формулой (6.27) эту формулу запишем в следующем виде:

Итак, функция (6.56) определяет рекурсивный фильтр 1-го порядка, содержащий масштабный блок, элемент задержки и сумматор. Из формулы (6.56) путем подстановки z = е^JmM находим частотный коэффициент передачи фильтра:

Метод инвариантного преобразования (инвариантности) частотной характеристики. В теории цифровых систем доказывается принципиальная невозможность создания физически реализуемого цифрового фильтра, частотный коэффициент передачи которого в точности повторяет частотный коэффициент передачи аналогового фильтра. Это связано с тем, что частотный коэффициент передачи цифрового фильтра представляет собой периодическую функцию частоты с периодом ее повторения, определяемым шагом дискретизации At. Для сравнения на рис. 6.32 показаны ЛЧХ аналогового фильтра-прототипа и цифрового фильтра, откуда следует, что.

Рис. 632. Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а — аналогового; б — цифрового они фактически имеют идентичный вид. Однако АЧХ цифрового фильтра, сохраняя масштаб по оси ординат, сжимается по оси абсцисс в определенное число раз. Поэтому при синтезе цифровых фильтров по методу инвариантности частотных характеристик используют условие, что весь интервал частот (—со_а, со_а), относящихся к фильтру-прототипу, преобразуется в полосу частот (—со_ц, со_ц) цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству.

Для осуществления синтеза по методу инвариантности частотных характеристик наиболее часто используют метод билинейного (дробно-рационального) преобразования. Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек p-плоскости в точки 2-плоскости.

Пусть К._А(р) — частотный коэффициент передачи аналогового фильтра, заданный по степеням комплексной частоты р = jco. Рассмотрим билинейное преобразование.

устанавливающее однозначное соответствие между точками единичной окружности в 2-плоскости со всей мнимой осью p-плоскости. Сделав замену в соотношении (6.57) z = ехр (/со_цД?), получим.

Воспользовавшись известной формулой Эйлера и проделав с формулой (6.58) несложные преобразования, находим связь между соответствующими частотами аналогового фильтра-прототипа и цифровым фильтром:

Согласно формуле (6.59) при выборе частоты дискретизации сравнительно большого значения (со_цД? 1) имеем практически равенство частот: со_а «со_ц. Значит, в низкочастотной области частотные коэффициенты передачи аналогового и цифрового фильтров практически идентичны по структуре.

Итак, синтез цифрового фильтра по методу инвариантности частотных характеристик заключается в замене в известной функции К_Л(р) переменной р билинейным преобразованием по формуле (6.57). Полученная таким образом дробно-рациональная системная функция позволяет непосредственно определить структуру фильтра и записать алгоритмы цифровой фильтрации.

Пример 6.22.

Аналитическая запись частотного коэффициента передачи аналогового фильтра-прототипа на частоте среза со_са имеет вид.

По метолу инвариантного преобразования частотных характеристик цифровых фильтров осуществим синтез фильтра, частота среза которого со_П1 = 1,5 • 10³ с Частота дискретизации сигнала со_в = И)¹ с '.

Решение

Вычислим значение интервала дискретизации, но теореме Котельникова: Дt = 2я/со" = 6,28 • К) ^А с. Затем по формуле (6.59) определим частоту среза аналогового фильтра-прототипа:

Выполнив с помощью соотношения (6.57) замену переменной в выражении (6.59), находим системную функцию синтезируемого цифрового фильтра:

Подставляя в это выражение соответствующие числовые значения, получим формулу для системной функции цифрового фильтра.

Этой системной функции отвечает структура рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка, у которого постоянные весовые коэффициенты нерекурсивной части а₀ = 0,13, я, = 0,26, а₂ = 0,13, а рекурсивной — = 0,75, Ь₂ = -0,26.

Синтез цифровых фильтров методом дискретизации дифференциального уравнения аналоговой цепи. Цифровой фильтр, приближенно соответствующий известной аналоговой цепи, синтезируют, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего прототип. В качестве примера использования этого метода рассмотрим синтез цифрового фильтра, отвечающего колебательной системе 2-го порядка (резонансному контуру), для которой связь между выходным колебанием y (t) и входным колебанием u (t) устанавливается известным дифференциальным уравнением

Установим шаг дискретизации входного сигнала равным t и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов выходного {у_к} и входного {и_к} сигналов. Если в уравнении (6.60) заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратится в разностное уравнение вида.

После перегруппировки слагаемых в последней формуле запишем.

Полученное уравнение можно записать в виде где коэффициенты.

Разностное уравнение (6.61) определяет алгоритм цифрового рекурсивного фильтра 2-го порядка, прототипом которого является аналоговая колебательная система. Такой фильтр принято называть цифровым резонатором.

Системная функция цифрового резонатора.

а амплитудно-частотная характеристика.

При соответствующем выборе коэффициентов цифровой резонатор может выполнять роль частотно-избирательного фильтра.

Отметим, что при использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового сигнала импульсная характеристика исходного аналогового фильтра сохраняется, а АЧХ — нет. Метод наложения не подходит для разработки ФВЧ и режекторпых фильтров. В то же время метод билинейного 2-преобразования дает весьма эффективные фильтры и прекрасно подходит для расчета коэффициентов частотно-избирательных фильтров. Он позволяет разрабатывать цифровые фильтры с классическими характеристиками типа Баттерворта и Чебышева. Цифровые фильтры, полученные методом билинейного 2-преобразования, будут сохранять особенности АЧХ аналогового фильтра (например, граничные частоты, неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления), но не сохранять свойства во временной области. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош для моделирования аналоговых систем типа ФНЧ, но для частотноизбирательных БИХ-фильтров наилучшим является билинейный метод.