Аппроксимация на частичных отрезках времени

Если сигнал на всем интервале времени определения слишком сложен для синтеза, то задачу создания синтезатора сигнала заданной формы можно упростить за счет выделения нескольких частичных отрезков времени, на каждом из которых используется более простая аппроксимирующая функция. При этом поведение соседних функций на границах сшивания надо согласовать по ординате и по нескольким первым производным. Границы частичных отрезков времени могут располагаться неравномерно, чтобы выровнять наибольшие погрешности на всем ансамбле отрезков. Наиболее разработан математически и технически сплайновый метод синтеза сложных сигналов представлением его на частичных отрезках.

Сплайном называют функцию, заданную на промежутке времени (0… Г), которая на частичных отрезках [t_h /_/+|] описывается полиномом степени т, а на границах этих отрезков имеет непрерывную производную (т — 1) -го порядка. Сетка узлов, образованных границами частичных отрезков, может быть неравномерной. Ступенчатая аппроксимация исходной функции представляет собой сплайн нулевого порядка, линейно-ломаная — сплайн первого порядка, гладкая квадратичная аппроксимация — сплайн второго порядка.

Простейший цифровой синтезатор сплайнов нулевого порядка с равномерным тактированием основан на последовательных выборках чисел из памяти постоянного запоминающего устройства (ПЗУ) с фиксированным тактовым интервалом /f_v К его недостаткам можно отнести фиксированные значения дискретов по ординатам и по времени независимо от свойств формируемого сигнала. Для сигналов, содержащих одновременно участки быстрого и медленного изменения, например для импульсных сигналов или сигналов треугольной формы, такая структура синтезатора будет явно не оптимальной: величину фиксированного шага по времени надо рассчитывать на наибольшую скорость изменения сигнала, а на остальных участках возможности быстродействия не используются. Следствием этого является излишнее число ячеек памяти для хранения отсчетов, что влечет за собой увеличение времени считывания.

Для приближения структуры сплайнового устройства апроксимации к оптимальному надо выравнивать на соседних участках информативность последующих значений подлежащей синтезу функции по отношению к предшествующим. Таким образом можно минимизировать число участков по времени и разрядность представления ординат в цифровой форме.

Рис. 7.9. Структурная схема синтезатора сложного сигнала равноотстоящими во времени отсчетами (а) и схема представления его линейной аппроксимацией между узлами (б)

Рассмотрим два варианта цифрового формирования сигнала у (/) в виде сплайна нулевого порядка, структурные схемы которых представлены на рис. 7.9. Схема, представленная на рис. 7.9, а, использует простые выборки из произвольного сигнала y (t) с постоянным тактовым интервалом /f_Jy т. е. работает как сплайновый аппроксиматор нулевого порядка с постоянным шагом по времени и ординатам без учета свойств синтезируемой функции. Возможно, что удается разделить весь интервал времени на несколько частичных интервалов так, что между узлами сигнал будет представлен линейными функциями. При этом можно существенно сократить число требуемых ячеек памяти и увеличить частоту повторения формируемого сигнала. Пусть, например, 16-разрядные отсчеты сигнала у, записаны в 32К ячейках ПЗУ (см. рис. 7.9, а); счетчик тактируется равномерно во времени с частотой от опорного генератора; узел ЦАП преобразует последовательные отсчеты из памяти ПЗУ в выходной сигнал у (/), который периодически повторяется на отрезке времени Т = 2³²/ЛПредставим массив {у,} суммой узловых значений Y_h между которыми коды ординат меняются в зависимости от кода адреса с постоянной крутизной kj в следующем виде: у, = Y_t + к/Ах. Если выделить в 12-разрядном адресном пространстве ПЗУ1 (см. рис. 7.9, б) четыре выходных разряда для записи значений крутизны kj и 12 разрядов для записи массива Y_h а ПЗУ2 использовать как табличный умножитель чисел к, на младшие разряды кода частичного интервала Дх, то суммарное число ячеек памяти в ПЗУ1 и ПЗУ2 для схемы, представленной на рис. 7.9, б, уменьшится в 15 раз по сравнению с объемом ПЗУ в схеме, представленной на рис. 7.9, а.

Применение сплайнов с неравномерным расположением узлов позволяет исключить избыточность задания ординат для сигналов сложной формы при заданных требованиях к погрешностям аппроксимации, что в конечном итоге приводит к увеличе;

Рис. 7.10. График функции у (/), заданной значениями отсчетов у, и крутизны S_t или длительностей т,.

нию быстродействия. Пусть, например, сигнал y{t) задан неравномерным расположением узлов {></,)} и принято решение использовать линейно-ломаную аппроксимацию сплайном первого порядка, как показано на рис. 7.10. Для каждого из частичных отрезков определяются его длительность т, и крутизна изменения ординаты S_r Массив данных о параметрах сигнала {т" 5J} записывается в ПЗУ (рис. 7.11). Тактовый генератор (ТГ) задает частоту/ тактирования процессов в таймере и реверсивном счетчике (PC). В начале каждого частичного интервала в таймер из ПЗУ переписывается код длительности интервала т" а в PC — код крутизны 5,. В каждый момент тактирования с частотой / происходит добавление или вычитание числа Sj к текущему значению кода к_п который преобразуется в ЦАП. По истечении отрезка времени, определяемого величиной т" выходной импульс таймера увеличивает на единицу число в адресном счетчике, что приводит к вводу значений крутизны и длительности следующего частичного отрезка. Объем Сч равен числу N частичных отрезков. После переполнения Сч возникает импульс e (t) начала цикла формирования, который можно использовать для.

Рис. 7.11. Структурная схема синтезатора сложного сигнала у (/) в виде сплайна первого порядка, заданного массивами длительностей {т,} и скорости изменения сигнала в узловых точках {5/}

сброса кода k_t в исходное положение или для организации автоматической подстройки размаха выходного сигнала.

Схему, представленную на рис. 7.11, можно изменить для использования кусочно-параболической или кубической аппроксимации (сплайн 2-го или 3-го порядков), записывая в ЗУ дополнительно несколько рассчитанных заранее чисел, определяющих положения узлов, скорость и вторую производную изменения ординат, которые будут передаваться на цепочку из нескольких реверсивных счетчиков, аналогично тому, как это сделано в схеме с цепочкой накопительных сумматоров (см. рис. 6.1). В этом случае формируемый сигнал будет проходить через заданные точки, а первая и вторая производные станут непрерывными, что повысит качество аппроксимации.

Недостаток синтезатора, представленного на рис. 7.11, состоит в том, что погрешности формирования ординат у, накапливаются с увеличением номера отсчета и числа периодов, поскольку из памяти задаются только значения крутизны. Возможно другое техническое решение, когда при линейно-ломаной аппроксимации (см. рис. 7.10) вместо кодов длительности отрезков т, используются коды пороговых значений ординат П" а вместо таймера (см. рис. 7.11) — пороговое устройство сравнения текущего значения к, с очередным пороговым значением у_г Такой вариант синтезатора не накапливает погрешность по ординатам, так как все они исходно заданы массивом данных. Однако технические погрешности его реализации приводят к ошибкам расположения узлов аппроксимации во времени, которые недопустимо возрастают, если ординаты двух соседних узлов одинаковы — в этом случае пороговое устройство не срабатывает и необходим таймер. Отмеченный недостаток схемы, представленной на рис. 7.10, можно устранить, дополнив ее системой автоматической коррекции ординаты в моменты сшивания начала и конца интервала формирования.

На рис. 7.12 показана структурная схема синтезатора сложного сигнала на базе массива узловых значений крутизны и порога по ординате {5″ П,}, который дополнен блоком сравнения (БС) для установки длительности в случае появления нулевой крутизны S, = = 0 и системой автоматической подстройки периода повторения для коррекции погрешностей на каждом цикле формирования. Коды крутизны 5, преобразуются в напряжение на выходе ЦАП1 и изменяют скорость изменения выходного сигнала y (t) интегратора на текущем участке аппроксимации. Когда фактическое напряжение выходного сигнала достигает заданного порогового значения, определяемого кодом П" то на выходе порогового устройства (ПУ) появляется импульс, увеличивающий на единицу адрес в счетчике. Если в массиве данных на месте кода крутизны S, записано нулевое значение, то соответствующий этому участку.

Рис. 7.12. Структурная схема синтезатора сложного сигнала с коррекцией погрешностей длительности.

код П, будет означать длительность т, участка аппроксимации с нулевой крутизной. Блок сравнения в этом случае запускает внутренний таймер, по окончании счета в котором ПУ передает на адресный АС импульс перехода к следующему адресу. По окончании цикла формирования сигнала на выходе счетчика появляется импульс сброса е (/), положение которого во времени сравнивается в ИФД с положением импульсов ОГ с частотой повторения F_nf а сигнал рассогласования от одного цикла формирования к другому корректирует начальное напряжение у (0) на интеграторе. Использование в схеме, представленной на рис. 7.12, аналогового интегратора в отличие от реверсивного счетчика, используемого в схеме, представленной на рис. 7.11, позволяет существенно повысить быстродействие синтезатора, так как сравнительно медленные цифровые узлы здесь используются только для изменения параметров сплайна 1-го порядка на границах частичных отрезков аппроксимации. Для дополнительного уменьшения погрешностей аппроксимации быстродействующих аналого-цифровых синтезаторов сложных сигналов схема, представленная на рис. 7.12, может быть дополнена еще одним или двумя аналоговыми интеграторами, включенными последовательно с Инт, начальные условия в которых задаются из ПЗУ. В этом случае выходной сигнал может быть сформирован как гладкий не только по ординате, но и по ее первой и второй производным. Соответствующие значения коэффициентов, обеспечивающие сшивание производных на границах участков, просчитываются заранее и записываются в ПЗУ.

Принцип кусочной (сплайновой) аппроксимации можно использовать совместно с базовыми узлами другого типа. Например, если в синтезаторе на основе функций Уолша по схеме, представленной на рис. 7.2, совокупность кодов {А_к) переключать при переходе от одного частичного отрезка времени к другому, то можно снизить требования к допустимым погрешностям формирова;

Рис. 7.13. Структурная схема быстродействующего синтезатора сложного сигнала на основе представления функциями Уолша на частичных интервалах времени.

ния на каждом из участков или сократить число требуемых базисных функций. Соответствующая структурная схема представлена на рис. 7.13. В этой схеме О Г с кварцевой стабилизацией частоты и ГФУ образуют быстродействующий цифровой автомат формирования ансамбля двухуровневых базисных функций {ср*(/)}. Интервал аппроксимации сигнала разбивается на N частичных отрезков, ординаты границ которых Y", п = 1, 2,…, УУ, записываются в ПЗУ вместе с набором коэффициентов Л, А_кп для каждого частичного интервала. Перемножители (П) кода А_кп на сигнал <�р*(г) выполняются, например, в виде цифроаналоговых преобразователей, в которых в качестве опорного напряжения использован сигнал ф*(/). Значения выходного сигнала y (t) в РЭ сравниваются с ординатами, которые заданы кодами Y_n. По достижении указанного граничного значения импульс с выхода РЭ увеличивает на единицу адрес в счетчике, что приводит к изменению набора коэффициентов А_{] п}> …" А_кп и порогового значения Y" для следующего частичного интервала. Применение схемы, представленной на рис. 7.13, увеличивает верхнюю граничную частоту синтезаторов сигналов по сравнению со схемой, представленной на рис. 7.2, так как на каждом частичном отрезке времени можно ограничиться небольшим числом функций ф*(/).