Сигналы несинусоидальной формы с ангармонизмом обертонов

Квазипериодические сигналы (КПС) несинусоидальной формы с высокой стабильностью периода повторения используются в радиотехнических, акустоэлсктронных и электромузыкальных приложениях. В отличие от вейвлет-сигналов микросотовой связи с хаотической несущей или прямохаотических сигналов без несущей частоты [8, 9, 35], которые занимают сплошной спектр в сверхширокой полосе частот, КПС характеризуются [45, 46] значительным количеством (от нескольких десятков до тысяч) обертонов с сопоставимыми амплитудами в многооктавной полосе частот. Такие сигналы формируются в распределенных многочастотных колебательных системах с малыми высокочастотными потерями.

Примерами систем, формирующих КПС-сигналы, являются: тонкопленочные мембранные СВЧ-резонаторы на монокристаллической высокодобротной пьезоэлектрической подложке из кварца, кремния, сапфира или ниобата лития с объемными акустическими волнами (Thin Film Bulk Acoustic Resonator, FBAR, Highovertone Bulk Acoustic Resonator, IIBAR);

— двухпроводная линия передачи с пьезоэлектрическим заполнением и сосредоточенной нагрузкой на концах;

тонкая упругая струна с закрепленными концами и поперечными колебаниями вдоль ее длины.

Эквивалентная добротность таких систем Q_SKB составляет от нескольких сотен для упругих металлических струп до десятков тысяч для тонкопленочных акустических СВЧ-резонаторов.

Последовательные и параллельные резонансы (моды колебаний) в таких резонаторах с увеличением частоты чередуются так, что для каждого последующего резонанса добавляется набег фазы примерно на к радиан по длине структуры. Интервал по частоте между соседними резонансами (Spacing of Parallel Resonance Frequency, SPRF), который в классическом спектре Фурье для искаженного периодического сигнала постоянен, для таких резонаторов изменяется в зависимости от номера обертона п. В этом проявляется апгармонизм обертонов.

Процесс затухания во времени t колебаний y (t, х) произвольной точки распределенной колебательной системы с малыми потерями (на примере упругой струны длиной L) является решением [47] волнового уравнения.

где /, = а / L — частота основного тона;  — коэффициент, характеризующий упругие свойства струны; Т — натяжение;

р — плотность материала; а «1 — параметр затухания. Уравнение (8.3) из-за учета затухания и дисперсии, вызванной силами изгибной жесткости, имеет решение только при условии зависимости собственной частоты обертона от его номера следующего вида:

где В = п²а² / TL²] — параметр энгармонизма. Из (8.4) следует, что частотный интервал между соседними обертонами SPRF в рассмотренной колебательной системе мононотонно возрастает.

На рис. 8.7 построен 1481 при помощи преобразования Фурье от решения уравнения (8.3) пример амплитудного спектра суммарного колебания с проявлением энгармонизма обертонов.

Рис. 8.7. Амплитудный спектр решения уравнения (8.3) с учетом энгармонизма обертонов, но (8.4).

Рассмотрение рис. 8.7 показывает, что значения собственных частоты обертонов /" с возрастанием их номера п монотонно увеличиваются по сравнению с кратными частоте основного тона л/, а межмодовый интервал SPRF монотонно возрастает.

Физический смысл такого явления состоит в том, что между закрепленными концами распределенной колебательной системы распространяются волны обертонов с фазовыми скоростями, зависящими от номера обертона, в результате чего форма суммарного колебания в дальней зоне y (t) от всех точек струны х с (О, L) квазипериодически изменяется [48], что показано в качестве примера на рис. 8.8 при учете 50 первых обертонов.

На рис. 8.8 показано, что огибающая суммарного колебательного процесса КПС несимметрична по знаку относительно состояния равновесия y (t) = 0, что объясняется влиянием высших обертонов заметного уровня. Применительно к слышимым человеком акустическим колебаниям, издаваемым струной гитары или фортепиано, наличие множества обертонов ощущается в виде характерного тембра звучания с «вибрато» из-за заметного на рис. 8.8 квазипериодического изменения огибающей и формы колебаний.

Рис. 8.8. Форма решения уравнения (8.3) при В = 0,5% с учетом.

50 обертонов Ангармоиизм обертонов выявлен также в [46] по результатам измерений значений мод многочастотных тонкопленочных слоистых пьезоэлектрических СВЧ-резонаторов с объемной акустической волной. Они показывают, что в диапазоне частот от 0,5 до 10 ГГц эквивалентные добротности собственных резонансов составляют от 510³до 410⁴, а интервал частот между соседними обертонами SPRF пульсирующим образом немонотонно изменяется и имеет значения от 10 до 25 МГц.

Для оценки количественного значения параметра энгармонизма В может быть использовано модифицированное кепстральное преобразование. Предложенный Богертом и Оппенгеймом [49] кепстральпый (гомоморфный) анализ базируется на вычислении обратного дискретного Фурье C_x(q) от логарифма амплитудного спектра исходного колебания, где q — аргумент преобразования (сантота). имеющий размерность времени. Вид C_x(q) выявляет периодичность огибающей спектра мощности, создавая в области сачтог q узкие пики, соответствующие периоду пульсаций спектра. Модификация базового преобразования [48] состоит в нахождении такого значения коэффициента предыскажения частотного масштаба спектра исходного сигнала перед применением второго преобразования Фурье в соответствии с (8.4), при котором энгармонизм компенсируется, а кепстральная зона преобразуется сосредоточенный пик с наибольшим уровнем.

В качестве примера на рис. 8.9 показан тонкой линией 1 вид базового кепстра C_x(q) исходного КОС с энгармонизмом обертонов В = 0,05% и жирной линией 2 — кепстра того же сигнала, модифицированного предыскажением частотной оси, компенсирующим энгармонизм. Но горизонтальной оси на рис. 8.9 указаны значения репиода r= 1 /q, обратного значениям дискретной сачтоты q.

Рис. 8.9. Пример кепстра C_x(q) сигнала, формируемого в колебательной системе по уравнению (8.3) при В = 0,03% (тонкая линия 1) и кепстра того же сигнала с предыскажающей модификацией оси частот, компенсирующей энгармонизм до В = 0.

(жирная линия 2)

Рассмотрение рис. 8.9 показывает, что использование кепстральпого преобразования позволяет выявить наличие скрытого энгармонизма в анализируемом сигнале, а предыскажающая модификация этого преобразования обеспечивает уверенную количественную оценку скрытого значения параметра энгармонизма В.

Анализ записей звучания гитарных и фортепианных струн в 8-октавном диапазоне значений частоты основного тона от 32 Гц до 3 200 Гц показал [48], что количество обертонов сопоставимого уровня достигает 50, измеренные значения параметра их энгармонизма В составляют от 0,01% до 0,1%, а функциональная зависимость (8.4) частоты обертона от его номера может быть принята за основу, различаясь в зависимости от конструкции и материала струны (гладкая, навитая и др.).