Движение частицы в потенциальном поле сил

Особый интерес для физики представляет случай, когда сила, действующая на частицу, определяется положением частицы в пространстве. Математически это означает, что каждой точке пространства ставится в соответствие вектор F, представляющий силу, действующую на частицу, если она окажется в этой точке. Математик скажет, что задано векторное поле F. Физик скажет, что частица находится в некотором поле (физическое понятие), с которым она взаимодействует, и это взаимодействие характеризуется силой F, зависящей от характеристик поля в точке, где находится частица.

Пусть задано векторное поле F = F® (точка задается радиусом;

вектором г, в этой точке задан вектор F). Рассмотрим две точки А и В в пространстве и некоторую кривую /, соединяющую эти точки. Зададим направление вдоль кривой, например от точки А к точке В.

Поскольку вектор F задан в каждой точке пространства, он определен в каждой точке кривой. Разобьем кривую I на малые элементы Д/, каждому элементу поставим в соответствие вектор Д/ = тД/, т — единичный касательный вектор к кривой в заданном направлении.

Для каждого элемента вычислим скалярное произведение F? АI, значение F берется в начальной точке элемента. Вычислим сумму.

для всех элементов кривой. Предел такой суммы при все более мелком разбиении называется криволинейным интегралом:

Пока это были математические упражнения. Если векторное поле.

F представляет поле сил, действующих на частицу, смысл выражения (2.93) ясен: это работа, совершаемая силовым полем при перемещении частицы вдоль кривой / из точки А в точку В. Эта работа зависит, вообще говоря, от начальной и конечной точки и от вида кривой.

Однако существуют такие векторные поля, для которых интеграл вида (2.93) не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, а зависит только от положения этих точек. Ясно, что поле, удовлетворяющее такому требованию, должно обладать специальной структурой. Сконструируем такое поле.

Пусть мы имеем некоторую скалярную функцию от переменных х, у, z '? W= Щх, у, z) (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число). Для функции от нескольких переменных определены так называемые частные производные по этим переменным. Например, для функции Wчастная производная по х обозначается и вычисляется как обычная производ- дх

ная по х, а остальные переменные при этом считаются постоянными. Аналогично вычисляются производные по другим переменным. Приведем наглядный пример. Пусть функция Щх, у, z) представляет температуру воздуха в разных точках пространства, и мы хотим экспериментально найти частную производную по х в некоторой точке (х, у, г). Проведем через данную точку прямую, параллельную оси х. Для всех точек этой прямой координаты у, z постоянны. Будем измерять температуру только в точках, лежащих на этой прямой. Очевидно, она будет функцией от х. Найдем производную функции Щх, у, z) по х. Это и будет частная производная.

Рассмотрим значения функции W в соседних точках: (х, у, z) и (х + dx, у + dy, z + dz). Вычислим разность.

Величина d^{определяет} изменение функции Wпри малом смещении из точки (х, у, г). Можно показать, что.

Величина d W называется полным дифференциалом функции W.

Отправляясь от скалярного поля Щх, у, z), построим векторное поле.

Можно показать, что выражение в скобках в правой части равенства (2.95) является вектором, т. е. ведет себя надлежащим образом при преобразованиях координат. Этот вектор называется градиентом функции Щх, у, z) и обозначается V W. Этому обозначению можно придать смысл, введя векторный дифференциальный оператор

Вектор градиента будет строиться тогда формальным «умножением» этого оператора на функцию, градиент которой мы определяем. Формула (2.95) принимает вид.

(Знак «минус» в правой части выбран из соображений удобства, и смысл этого выбора прояснится далее.).

А теперь то, ради чего все это делалось. Векторное поле (2.97) таково, что интеграл.

вдоль кривой, соединяющей точки А и В, не зависит от вида кривой и равен разности значений функции W в точках А и В.

Доказательство. Место точек, в которых функция Wпринимает определенное значение, скажем W_v определяется уравнением Щх, у, z) = W_v Это уравнение задает некоторую поверхность (если W — температура, то точки с одинаковой температурой будут располагаться на некоторой поверхности). Задаваясь различными значениями W, получим семейство непересекающихся (это важно!) поверхностей. Точка А лежит на одной из них, точка В — на другой. Пусть значения функции W на этих поверхностях W (A) и V (B). Между этими поверхностями лежат поверхности, отвечающие промежуточным значениям W. Проведем кривую из точки А в точку В. Она пронзит эти промежуточные поверхности. Рассмотрим две соседине из них. Они вырежут из кривой отрезок А/. Ему соответствует вектор

Скалярное произведение

дает разность значений функции W на концах вектора А/ (см. формулу (2.94)), т. е. между соседними поверхностями. Перемещаясь вдоль кривой от точки А до точки В и суммируя эти разности, получим.

по какой бы кривой мы ни перемещались. Это доказывает формулу (2.98).

Итак, если F = -V W, интеграл J F 61 вдоль кривой зависит только

от начальной и конечной точек кривой и не зависит от вида кривой. Верно и обратное: если упомянутый интеграл не зависит от вида

кривой, найдется скалярная функция Щх, у, z) такая, что F = -V W.

Это были математические факты. Вернемся к механике. Оказывается, существуют такие поля сил, при перемещении в которых совершаемая этими силами работа не зависит от формы траектории, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Такие поля сил называются потенциальными.

Пример. Сила тяжести. Пусть ось z направлена вертикально вверх.

На всякое тело у поверхности земли действует сила F = -mgk. Эта сила не зависит от координат (но задана в каждой точке). Такое поле называется однородным. Вычислим работу этой силы при перемещении частицы из точки (*, у, г,) в точку (x_v y_v zj- Имеем:

При вычислении было учтено, что сумма малых перемещений — это полное перемещение, т. е. вектор, идущий из начальной точки в конечную. Видим, что работа действительно не зависит от пути, а зависит только от высоты начальной и конечной точки.

Пусть частица движется в потенциальном поле. Это значит, что.

F = -V W_n, где W_a= Щх, у, z) — некоторая скалярная функция.

Уравнение (2.88) дает.

(Интеграл вычисляется вдоль траектории, индексами 1, 2 отмечены две точки траектории, учтена формула (2.98).) Равенство (2.102) означает, что для любых двух точек на траектории частицы.

Здесь W_K — значение кинетической энергии частицы в данной точке, a W_n — значение функции Щх, у, z) в этой точке.

Если частица движется в потенциальном поле, величина Е = W_K + W_n не изменяется. Скалярная функция W_n называется потенциальной энергией частицы, величина Е тогда представляет полную энергию частицы. Приведенное утверждение выражает закон сохранения механической энергии.

Теперь понятно, почему в формуле (2.97) был выбран знак «минус». Благодаря этому выбору сохраняющаяся величина Е представляется суммой, а не разностью двух величин. Вектор градиента направлен в сторону быстрейшего возрастания функции. Таким образом, сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии.

Если на частицу помимо потенциальной действует непотенциальная сила, полная механическая энергия не сохраняется. Именно, если F = -VW_n + F’y вместо равенства (2.102) будем иметь.

Изменение механической энергии равно работе непотенциальной силы.

В заключение этого пункта отметим, что понятие потенциальной энергии появляется не только в случае, когда частица находится в некотором физическом поле (гравитационном или электрическом). Зависимость силы от координаты при одномерном движении (когда положение частицы задается одним числом) всегда приводит к закону сохранения вида (2.103), а такая зависимость может быть реализована чисто механическим способом, например с помощью пружины. Мы еще вернемся к этому вопросу далее.

Задача 2.15. Найти градиент модуля радиуса-вектора.

Решение. Функция /(х, у, z)= г определяет, очевидно, скалярное поле (она ставит в соответствие каждой точке пространства число — расстояние до этой точки от начала координат). Поскольку нахождение градиента состоит в вычислении частных производных по координатам, нужно функцию выразить через координаты явно. Имеем:

остальные производные — аналогично. Таким образом,.

Это единичный вектор в направлении радиуса-вектора.

Задача 2.16. Найти градиент функции/(х, у, z) — х.

Решение. Имеем: V/ = [ / — + j — + к — |х = / — = /.

дх ду dz) дх

Задача 2.17. Чему равна потенциальная энергия частицы в гравитационном поле у поверхности земли?

Решение. Векторное поле F = -mgk потенциально. Это означает, что оно должно быть градиентом некоторого скалярного поля, которое нам нужно найти. Решение предыдущей задачи подсказывает, что вектор к есть градиент функции /(х, у, z) = Z- Легко видеть, что искомое скалярное поле будет Ж (х, у, z) — mgz + const. Константа появилась потому, что градиент любой константы равен нулю, и при любой константе мы будем получать правильное выражение для силы. Это важное обстоятельство: потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. Это математический факт. Физически ему соответствует то, что нет способа измерить потенциальную энергию. Потенциальная энергия ненаблюдаема. Измерить можно лишь разность потенциальных энергий, и только эта разность имеет физический смысл. Ноль отсчета потенциальной энергии устанавливается произвольно.

Задача 2.18. Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна Ж_п = qq>, где q — заряд частицы, ср — потенциал электрического поля. Какую скорость будет иметь электрон, пройдя в электрическом поле разность потенциалов 1 млн вольт?

Решение. Заряд электрона q = —е. Формула (2.103) дает Ж_к1 — ар, = = Ж₂ — е<�р₂. Начальная кинетическая энергия электрона Ж, = 0.

Имеем: W_k2 = e (q>₂ —.

t) = 1,6 • 10^-19 • 10⁶ = 1,6 • 10^-13 Дж. Энергия покоя электрона тс² = 9* 10~¹³ (3 • 10⁸)² = 0,8 • 10^-13 Дж. Видим, что кинетическая энергия электрона вдвое больше энергии покоя. Из формулы (2.85) находим l/^l — v²/c² = 3, откуда v = 0,94с.