Метод гомотопии для решения систем уравнений MESH многокомпонентной ректификации

В данной работе авторы применяют метод математической гомотопии в трудных случаях (когда все вышеприведенные методы не работают). Прежде всего необходимо установить применимость метода гомотопии для системы уравнений MESH.

Решение системы уравнений MESH методом гомотопии

Представим систему нелинейных уравнений MESII в обобщенном виде:

где п — число уравнений системы; Х^ш (*i, *2. •••" *?) — векторы функций и переменных в обобщённом виде соответственно.

Эта система преобразовывается к следующему виду (глобальная гомотопия):

или.

где Н = (Аь Л₂, h") — вектор функций гомотопии; t — параметр гомотопии; Л°- началь ное значение вектора переменных.

Для удобства обозначим Я ~ 1 — / и будем отслеживать траекторию гомотонии Г от Я = 1 до Я = 0, тогда (3.80) примет вид:

При Я = 1 решением является Х°, при Я = 0 — искомый корень X .

Дифференцируя уравнение (3.81) по длине траектории гомотонии (независимому параметру) р получим:

Можно выражение (3.82) переписать в виде:

ИЛИ.

Изменение переменных происходит путём изменения длины кривой траектории гомотопии р. По теореме Пифагора для многомерного пространства.

или.

При решении системы дифференциальных уравнений (3.83) и (3.84) принимаются начальные условия:

Тогда система дифференциальных уравнений (3.83) и (3.84) может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В обобщенном случае, когда ищут одно стационарное решение, нс обязательно использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку и без них может быть получена глобальная устойчивость и квадратичная сходимость. Ряд исследователей проводили эксперименты с интеграторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения вполне достаточно интегрирования методом Эйлера с корректором Ньютона [35].

Действительно уравнение (3.83) можно представить в виде системы уравнений (3.85). Следует обратить внимание на то, что является независимой переменной. Эта система может быть преобразована изменением матрицы (если расширенный Якобиан не сингулярен или его ранг равен я), и тогда мы получим систему уравнений (3.86).

8f d/₂ df,.

где (J)i, Дм), вектор, полученный из вектора (—^L,——…——) изменением.

dXj dXj dXj

матрицы Гаусса.

С другой стороны, из уравнения (3.84) имеем:

Подставив производные, полученные в результате решения уравнения (3.86), в уравнение (3.87), получим:

Подставляя уравнение (3.88) в (3.86), получим:

Интегрируя методом Эйлера обыкновенную систему уравнений (3.89), получим значение переменной д; на новом шаге.

где h — шаг интефирования.

Ньютоновская коррекция гомотопии применяется для того, чтобы возвращать прогнозную точку к траектории гомотопии перед тем, как выполнялась следующая экстраполиция. Но перед тем как это сделать, надо обратить внимание на выбор критерия независимого переменного.

Допустим мы имеем плохой выбор независимого переменного, тогда после преобразования матрицы (3.86) получим систему уравнений (3.91). Первая матрица с левой стороны уравнения (3.91) сингулярна, поэтому она не может быть решена, так как в этой точке = 0 (имеется точка разры;

др

ва по х,). Проводить интегрирование по независимому переменному л, невозможно, поэтому необходимо выбрать другую независимую переменную. В этом случае последний столбец матрицы с левой стороны уравнения (3.91) заменяется вектором с правой стороны, и мы получим уравнение (3.92).

где с".| - значения, полученные после изменения матрицы j^/⁷ (Л') | - /⁷|Л'° jj.

Тогда эта система может быть легко решена, так как матрица с левой стороны уравнения (3.92) не сингулярна.

Рассмотрим значение сингулярной матрицы. В точке, где матрица с левой стороны уравнения (3.91) становится сингулярной, независимая переменная хi не может перемещаться по траектории гомотопии, поэтому надо обратить внимание на это при выборе независимой переменной. Лучше всего выбирается независимая переменная, производная по которой самая наибольшая в этой точке. На практике выбирается такая независимая переменная, которая в предыдущей точке изменяется в большей степени. Это достаточно хорошая аппроксимация, так как маловероятно, что матрица становится сингулярной, если на предыдущем шаге независимая переменная изменилась в большей степени.