Основания для выбора весовых коэффициентов в сложных стоимостных функциях

Минимум суммы нескольких функций, как правило, не соответствует минимуму каждой из этих функций. Если есть несколько вариантов целевых функций и имеется потребность минимизации всех этих функций совместно, то каждое из слагаемых должно входить в сумму со своим весовым коэффициентом. Если бы величина была единственной, то коэффициент не играл бы никакой роли. При использовании в стоимостной функции двух компонент нужен как минимум один весовой коэффициент. Для сложения разнородных величин необходимо их все привести к общим единицам измерения.

Выбор весовых коэффициентов — это также процедура, родственная оптимизации. При различных выборах этих коэффициентов фактически меняются условия подзадачи, поэтому результаты ее решения системы будут разные. Каждый такой результат можно назвать «оптимальным» решением данной подзадачи. Результат ее решения может не удовлетворить проектировщика, поэтому потребуется изменить набор весовых коэффициентов, т. е. изменить подзадачу. Таким образом, задача оптимизации регулятора в целом становится более сложной: во-первых, требуется задать критерий оптимизации; во-вторых, на основе этого критерия — оптимизировать регулятор; в-третьих — при необходимости изменять критерий и повторять процедуру оптимизации, пока не будет получен приемлемый результат.

Один из способов выбора весовых коэффициентов — отыскание общей природы проявления этих компонент, например «убыток» или «цена».

Другой способ объединения критериев — изменение весовых коэффициентов по результатам их применения. Иными словами, если в переходном процессе полученной системы наблюдается слишком большое перерегулирование, то следует увеличить весовой коэффициент у слагаемого, отвечающего за уменьшение перерегулирования. Если же в системе недостаточно быстро уменьшается ошибка, то следует увеличивать коэффициент у того слагаемого, которое резко растет с ростом ошибки и поэтому должно обеспечивать малую ошибку в системе. Этот способ эффективен, но требует больших затрат времени и неформального анализа результата оптимизации.

Пример 5.2. Пусть имеется задача оптимизировать как время, так и стоимость проезда. Естественно, что эти затраты могут экономиться лишь ценой друг друга, т. е. можно экономить время, расходуя больше денег, и экономить деньги, теряя больше времени. Задача отыскания приемлемого компромисса, по сути, сводится к задаче сведения цены ресурсов к единой шкале цен: либо следует оценить время в рублях, либо рубли в часах, что, вообще говоря, одно и то же.

Скажем, если заработок путешественника составляет 100 руб. в час, можно допустить, что экономия часа вполне стоит того, чтобы оплатить ее хотя бы половинной ценой часового заработка. Это дает следующий естественный критерий:

где X, = 50 руб/ч, Т_к и а_к — затраты времени и денег на проезд отдельных участков пути.

При этом можно использовать экспертный способ определения цены: если трудно назвать цену определенной работы, то все же, как правило, оказывается достаточным просто назвать две предельные цены, а именно: заведомо заниженную и заведомо завышенную.

Пример 5.3. Скажем, требуется определить, сколько стоит один час вашего нерабочего времени. Допустим, вы без сомнений отдали бы 50 руб. за экономию этого времени, но ни при каких обстоятельствах не отдали бы 1000 руб. Следовательно, истинная цена для вас лежит где-то посредине. «Серединой» можно называть среднее арифметическое и среднее геометрическое с равной степени обоснованности, если нет особых оснований для предпочтения того или иного способа усреднения (среднее геометрическое — это среднее по логарифму). Действительно,

В данном примере среднее арифметическое дает 525 руб., а среднее геометрическое — около 234 руб. Если мы и далее затрудняемся предпочесть тот или иной ответ, можем осуществить расчет среднего между двумя этими результатами. Среднее арифметическое между этими результатами составляет 379,5 руб. Среднее геометрическое равно 350,5 руб. Эти результаты практически сблизились. Можно сказать, что стоимость одного часа при исходных условиях составляет 565 руб.

Если крайние оценки различаются на порядки, например 10 и 100 000, лучше применять среднее геометрическое, если же они сопоставимы по порядку величин, например 10 и 60, то можно применять среднее арифметическое.