Общие принципы проверки статистических гипотез

Предположим, что в ходе измерения получена величина х₀ — одно из возможных значений некоторой случайной величины X. Выдвинем гипотезу, которую обозначим Но, о том, что случайная величина X распределена по закону, характеризуемому заданной функцией плотности вероятности <�р₀(х). Гипотезу Н₀ назовем нуль-гипотезой. Введем также некую альтернативную гипотезу Н, содержание которой состоит в том, что рассматриваемая случайная величина X подчиняется некоторому другому закону распределения, описываемому функцией плотности вероятности Ну является истинной, если нуль-гипотеза Н₀ неверна. (Ввиду того, что вид функции ₀ решить, какой из гипотез — Н₀ или Ну — следует отдать предпочтение.

Очевидно, что при принятых допущениях область всех возможных значений рассматриваемой случайной величины можно разделить на две области: область Ro, соответствующую истинности гипотезы Но, и область Ry, отвечающую гипотезе Ну (рис. 2). Допустим теперь, что точка x (R₀ /R,), разделяющая области R₀ и /?, известна.

Рис. 2. Выбор граничной точки для гипотез Но и Ну.

Тогда, если наблюдавшееся значение х₀ < х (^, /R,), то х₀ попадет в область R₀, и следует отдать предпочтение гипотезе Но. Если же х₀ > x (f^) IRy), то х₀ оказывается в области R, альтернативной гипотезы Н, и нуль-гипотеза должна быть отброшена.

С другой стороны, из рис. 2 очевидно, что как бы мы ни выбирали точку x (R₀/R^), всегда существует вероятность отвергнуть верную гипотезу. Причем, если благодаря смещению вправо мы уменьшаем вероятность.

отвергнуть нуль-гипотезу Н₀, когда она верна, то одновременно уменьшается и вероятность.

ее отвержения, если она в действительности ложна.

Поэтому выдвижение слишком жестких требований к правилам принятия и отвержения гипотез приводит зачастую к противоположным результатам.