Клеточные автоматы и разностные схемы, аппроксимирующие простейшее уравнение параболического типа

Материал данного параграфа является необязательным и может быть пропущен при первом чтении. Для понимания материала от читателей требуется знакомство с элементарными численными методами решения уравнений в частных производных параболического типа.

Рассмотрим первый этап реализации клеточного автомата Кохомото — Ооно.

Перепишем его в следующем эквивалентном виде:

Здесь т — положительный параметр, t= т. Будем считать, что последнее соотношение устойчиво, если все гармоники разложения произвольного начального возмущения в ряд Фурье не возрастают. Это аналог спектрального признака устойчивости разностных схем (признака фон Неймана). Для исследования представим решение разностного уравнения в виде.

где ср, |/ — произвольные параметры. Тогда для коэффициента усиления гармоник имеем.

для автомата, реализованного в окрестности Неймана, и

для автомата, реализованного в окрестности Мура.

Найдем, при каких условиях спектр оператора послойного перехода X лежит внутри единичной окружности на комплексной плоскости. Используя представление для комплексного числа e^{i (}Q = соБф + /sinф, убеждаемся, что все X действительные. Для окрестности Неймана имеем.

При произвольных значениях параметров ф, |/ условие Х < 1 выполняется при а < 1.

Для окрестности Мура имеем.

После несложных преобразований получим.

Сумма в первой скобке в последнем равенстве принимает максимальное значение, когда оба синуса по абсолютной величине равны единице. Тогда разность во второй скобке обращается в нуль. Максимальное значение разности во второй скобке равно двум, при этом один из синусов в первой скобке равен нулю, а второй — единице. Условием устойчивости будет Х = 1 —— < 1, откуда, а < 4/3.

Свяжем теперь нашу спектральную устойчивость, монотонность и возникновение структур в клеточном автомате Кохомото — Ооно. Сначала напомним одно из определений монотонности разностной схемы (заметим, что таких определений несколько и они не эквивалентны).

Определение 2.1. Однородные разностные схемы, сохраняющие монотонность пространственного профиля разностного решения, называются монотонными.

Теорема 2.1. Явная двухслойная линейная однородная схема, аппроксимирующая эволюционно уравнение и записанная в виде

монотонна тогда и только тогда, когда все (3/> 0.

Такие разностные схемы называются монотонными по Фридрихсу.

Заметим, что правила перехода клеточного автомата уже записаны именно в той форме, которая употребляется при исследовании разностных схем на монотонность по Фридрихсу. Отсюда сразу следует, что правила перехода на первом этапе для клеточного автомата Кохомото — Ооно сохранят монотонность профиля при, а < 1.

Как следует из численных результатов, но исследованию клеточного автомата Кохомото — Ооно, все структуры получаются при значениях параметров, лежащих вблизи границы области монотонности. Приведенные соображения показывают, что окрестность Мура, предположительно, более «богата» на нетривиальные структуры, чем окрестность Неймана. Это предположение основано на том, что существует область значений диффузионного параметра, при которых разностная задача моделирования диффузионного этапа оказывается формально устойчивой, но немонотонной.