Задачи теоретических основ электротехники на решение стохастических дифференциальных уравнений

Рассмотрим последовательный /??С-контур, подключенный к источнику напряжения E (t). Заряд на емкостном элементе в момент времени t удовлетворяет дифференциальному уравнению.

где L — индуктивность; R — сопротивление; С — емкость; /₀ — ток в начальный момент, a E (t) — напряжение источника в момент t.

Предположим, что некоторые коэффициенты — скажем, правая часть уравнения — не являются детерминированными, а имеют вид.

где «шум» представляет собой броуновское движение W_t с постоянным множителем а = const. Дифференциальное уравнение, коэффициенты которого могут быть случайными величинами, называется стохастическим дифференциальным уравнением. Введем вектор

и получим систему дифференциальных уравнений.

или в матричных обозначениях.

броуновское движение.

Перепишем полученное двумерное стохастическое дифференциальное уравнение (8.11) в следующем виде:

где для произвольной (п х га)-матрицы F определяем exp (F) как (п х п) —

~ 1.

матрицу, задаваемую рядом exp (F) = У —F" .

п=0П

Для решения дифференциального уравнения (8.12) воспользуемся двумерным вариантом формулы Ито (теорема 8.4). Применим его к функ;

ции g: [0; °°) х R2 ц2_; задаваемой равенством g (t, X_UX₂) = exp (-At) ¹ .

^Х2;

Получим.

Подстановка выражения (8.13) в формулу (8.12) дает или

Интегрируя по частям (теорема 8.3), получаем.

Мы получили выражение для двумерного процесса X (t), первая компонента которого представляет собой заряд на емкости (на конденсаторе), а вторая компонента — ток в контуре в момент времени t. Как и в детерминистском случае, и заряд, и ток имеют как свободную, определяемую собственными частотами цепи, так и вынужденную составляющую, определяемую входным воздействием. Однако в нашем случае вынужденная составляющая реакции имеет как детерминированную, так и стохастическую составляющие.