Поле, создаваемое поляризованным диэлектриком

Молекулы диэлектрика обладают дипольным моментом либо приобретают его во внешнем поле. Так или иначе, диэлектрик во внешнем поле приобретает дипольный момент или за счет преимущественной ориентации молекулярных диполей вдоль поля, или за счет поляризации молекул. Пусть Р — дипольный момент единицы объема диэлектрика, так что малый объем бКимеет дипольный момент dp = Р dV и весь диэлектрик имеет дипольный момент /? = 2^РД^ = PdV.

Поляризация диэлектрика приводит к тому, что он сам становится источником поля (см. п. 7.4.3). Можно показать, что поляризация диэлектрика эквивалентна появлению заряда с плотностью р' = -divP (если divP = 0 внутри диэлектрика, этот заряд сосредоточен на его поверхности и поверхностная плотность заряда равна.

о' = Р п, п — вектор внешней нормали к поверхности в данной точке). Фундаментальное уравнение (7.1) дает.

или Величина D = г₀Е + Р называется индукцией электрического поля. Таким образом,.

где р — плотность «свободных» зарядов (в отличие от р' — плотности «связанных» зарядов).

Во многих случаях Р ~ Е и тогда, полагая Р = хе₀^> ^где X — Диэлектрическая восприимчивость, получаем.

где е = 1 + х называется диэлектрической проницаемостью.

Задача 7.19. Найти поле, создаваемое тонким диском из диэлектрика толщиной d и радиусом R, с поляризацией Р = const вдоль оси диска (рис. 7.50).

Рис. 7.50.

Решение. Диск обладает дипольным моментом.

так что на больших расстояниях х поле определяется формулой (7.58) с подстановкой р.

На малых расстояниях поле найти сложно, за исключением точек на оси симметрии. Задача эквивалентна нахождению поля от двух заряженных дисков (см. рис. 7.49) с плотностями зарядао' и о, о = Р. Это поле было найдено в задаче 7.18.

Таким образом, внутри диска (|дс| < d/2) поле Е, согласно (7.66), равно.

вне диска, согласно (7.65), (рис. 7.51).

Что касается индукции D (рис. 7.52), то внутри диска.

вне диска Обратите внимание на то, что поле Е меняется скачком при переходе через торец диска (связанные заряды на поверхности), в то время как поле D — непрерывное поле. D не «чувствует» связанного заряда, оно для этого и вводилось.

Вообще, при отсутствии «настоящих» зарядов divi) = 0, или в интегральной форме.

Рис. 7.51.

Рис. 7.52.

линии D замкнуты. Это означает, что d/ ф 0 вдоль силовой.

линии /. Действительно, имеем:

Формула (7.75), в свою очередь, означает, что каждая линия D проходит через область, где Р ф 0, т. е. через диэлектрик.

Задача 7.20. Точечный заряд q окружен слоем диэлектрика с проницаемостью е (рис. 7.53). Найти плотность связанных зарядов в диэлектрике.

Решение. Это центрально-симметричное поле, его анализ был проведен в п. 7.3.1. Имеем:

так что внутри диэлектрика ^Рис— ⁷⁵³

Для вектора поляризации Р получим.

Таким образом, р' = -divP = 0 (относительно вычисления дивергенции см. п. 7.4.1). Это означает, что связанные заряды сосредоточены на поверхности диэлектрика:

Комментарий. Поле D создается свободными зарядами, поэтому оно «не замечает» связанных зарядов на поверхности диэлектрика, если вектор D ортогонален поверхности (в общем случае линии поля преломляются на границе диэлектрика). Поле Е создается всеми зарядами, поэтому меняется скачком при переходе через поверхность диэлектрика. Точнее говоря, имеем следующее: при переходе через поверхность величина п D непрерывна (й — внешняя нормаль к диэлектрику), а величина п? Е терпит разрыв, причем (п? Ё], -(п? Ё), =а где о' — поверхностная плотность связанных зарядов. В рассмотренной задаче поле Ё создается точечным зарядом q и двумя заряженными сферами радиусами R и Л₂ с зарядами —q (z — 1)/е и q (z — 1)/е. Полезно самостоятельно найти это поле и убедиться, что оно совпадает с тем, что было найдено в задаче.