Математический атомизм в эпоху Возрождения и в начале Нового времени

Можно выделить два источника возникновения атомизма в эпоху Возрождения. Первый прямой источник — это новые издания сочинений Архимеда. Второй источник — это влияние средневекового атомизма. Сначала расскажем о судьбе сочинений Архимеда в новой Европе. Первые переводы были сделаны в Средневековье на основе арабских и византийских источников. Это вызвало развитие атомизма в Оксфордском университете и позже в Парижском университете.

Но к концу XIV в. поступательное развитие атомизма в Европе приостановилось. Около 1450 г. Яков Кремонский выполнил новый латинский перевод Архимеда. Этот перевод был достаточно хорошо известен в научных кругах. В 1468 г. знаменитый Региомонтан предпринял попытку опубликовать этот перевод, но ранняя смерть Региомонтана помешала выполнить это начинание.

В первой половине XV в. атомистическое учение Орема пропагандировал и комментировал в Италии Биаджо Пелакани. В Парме были напечатаны два издания изложения теории по Орему под названием «Трактат о широте форм» (1482,1486). «Книга калькуляций» Суайнсхеда была напечатана в Италии чуть раньше, в 1477 г., а затем переиздавалась в 1498 г. В целом XV в. был не слишком плодотворен для атомизма, но это было затишье перед бурей. Главное, что в сложное время господства инквизиции атомизм смог сохраниться. Даже в суровые времена процессов над Галилеем приверженность атомизму не была поводом к преследованиям со стороны инквизиции.

В конце XV — начале XVI в. математическим атомизмом отметился великий художник Возрождения Леонардо да Винчи. «Так великий художник Леонардо да Винчи, бывший выдающимся архитектором и математиком-практиком, снова дал правильное определение центра тяжести пирамиды»^[1]. Атомизм Леонардо сейчас почти не упоминается. Этому способствовали и высказывания самого великого художника.

«Хотя Леонардо теоретически высказывался против неделимых („То, что делимо актуально, делимо и потенциально, однако не все величины, делимые потенциально, будут делимы актуально“, „Точка не есть часть линии“ и другие), практически он применял метод неделимых, придавая ему, но-видимому, эвристическое значение. Так, при исследовании истечения воды из сосуда он заменил воду просом, сделав при этом следующее замечание: „И если ты скажешь, что этот опыт нехорош, поскольку вода сама по себе — величина единая и непрерывная, а просо — дискретная и прерывная, на это я тебе отвечу: я хочу позволить себе такую вольность, общую с математиками, а именно: подобно тому как они делят время на градусы, превращая его из величины непрерывной в прерывную, так и я сделаю то же, приравнивая просо или песок к воде“»^[2].

Такие высказывания объясняются несомненным влиянием Архимеда на Леонардо да Винчи. Так, «исследуя центры тяжести фигур и тел, например полукруга и тетраэдра, а также определяя площадь эллипса, Леонардо применял методы Архимеда»^[3].

Теперь более подробно проследим судьбу атомизма в XVI в. В начале века продолжают выходить впервые и переиздаются труды Брадвардина, Суайнсхеда и Орема. Но к середине века их влияние уже не так существенно. Более важным оказывается влияние непосредственных переводов Архимеда. Правда, издание части средневекового перевода Мербека, которое осуществил Лука Гаурик в 1503 г. в Венеции, осталось совершенно незамеченным. Но этот труд не пропал даром. Знаменитый Тарталья присвоил его себе и опубликовал в 1543 и 1565 гг. Но не эти публикации стали решающими. В 1544 г. в Базеле выходит перевод Архимеда с византийского источника, вывезенного из Константинополя после погрома 1204 г.

В 1548 г. вышел первый профессиональный латинский перевод Архимеда, выполненный Мавролико. В приложении к переводу Мавролико исследовал ряд вопросов, связанных с центрами тяжести фигур. Все доказательства Мавролико были выполнены в духе Архимеда. Особенно интересным был способ нахождения центра тяжести сегмента параболоида вращения. «Основная мысль его доказательства заключается в том, что в сегменте параболоида площади сечений, параллельных основанию сегмента, относятся как квадраты ординат осевого сечения, т. е. как соответствующие абсциссы. В силу этого центр тяжести определяется так же, как в треугольнике, в котором ось параболоида служит средней линией»^[4].

Мавролико очень строго проводит доказательство, используя архимедовский метод вписывания и описывания фигур. Причем в известных в то время сочинениях Архимеда нахождения центра тяжести параболоида не было. Так что тогда это был вполне оригинальный результат. Много позже этот результат Архимеда был обнаружен в «Эфоде». Кроме определения центра тяжести параболоида вращения, Мавролико смог определить центры тяжести шара и его частей, параллелепипеда, призмы, октаэдра с параллельными гранями и пирамиды.

В 1558 г. в Венеции выходит самый известный перевод Архимеда, принадлежащий Коммадино. А затем в 1565 г. появляется его сочинение «Книга о центре тяжести тел». В этой книге Коммандино приводит положения центров тяжести призмы, цилиндра, конуса, шарового сегмента, усеченной пирамиды, усеченного конуса, правильных многогранников и параболоида вращения. Причем Коммандино использует при доказательстве иные приемы, чем Мавролико. Кроме того, результаты Мавролико были хотя и известны, но напечатаны лишь в 1685 г. Поэтому в этом отношении Коммандино имел приоритет. Благодаря блестящим переводам Мавролико и Коммандино появляется ряд работ, посвященных проблемам определения центров тяжести. Здесь следует отметить одно из первых произведений Галилея, в котором он определяет центр тяжести пирамиды. Очевидно, что именно тогда Галилей освоил атомистические методы Архимеда. Напомним, что определение центров тяжести фигур и тел составляет суть статических методов атомизма.

В 1586 г. появляются «Основания статики» Стевина. Эта работа не выходила за пределы круга, очерченного идеями Архимеда и Коммандино. Зато другая работа Стевина «Начала гидростатики», выпущенная в том же 1586 г., содержала новые теоремы о давлении жидкости. При доказательстве Стевин использует методы Архимеда. Он делит куб со стороной в 1 фут, в котором определяется давление, па 4, 10, 1000, п полос.

«Оценивая снизу и сверху давление на каждую полосу соответственно ее нижней и верхней границам, а затем суммируя неравенства, Стевин получает неравенства 6/16 < р < 10/16, 0,45 < р < 0,55, 0,4995 < р < 0,5005 и вообще ½ — ½п < р < ½ + ½п. Таким образом доказывается, что разность между давлениями на стенку р и весом ½ кубического фута воды меньше любого данного давления»^[5].

Смысл доказательства следующий. По первым трем неравенствам ясно, что числа, стоящие слева и справа, стремятся к ½. Например, 6/16 получается в результате вычисления ½ — ½лг при гг = 4, а 0,45 — при гг = 10 и т. д. Стевин просто проверяет формулу ½ — ½гг < р < ½ + ½гг для любого числа полосок, подставляя 4, 10, 1000 и т. д. Чем больше число гг, тем ближе давление подойдет к ½, т. е. разность между давлением р и весом ½ кубического фута воды станет меньше любого заданного давления. Стевин использует для доказательства аналог архимедовского метода приведения к противоречию. Окончательный вывод заключается в том, что на стенку куба давит вес, равный половине имеющейся в кубе воды.

Теперь перейдем к началу XVII в. В 1604 г. появляется работа Луки Валерио «Три книги о центре тяжести фигур». Работа Валерио примыкает к кругу идей Коммандино. Но Валерио методологически существенно продвигается дальше. Он решает раз и навсегда доказать теорему о вписанных и описанных фигурах, чтобы затем использовать ее без дополнительного повторения всей процедуры. Это был первый шаг к унифицированию процедуры интегрирования.

С помощью архимедовских методов Лука Валерио нашел центры тяжести сегментов и слоев эллипсоидов и гиперболоидов вращения (около вещественной оси), отсекаемых плоскостями, перпендикулярными оси вращения. «В качестве примера можно рассмотреть здесь поверхность, образованную вращением гиперболы у^[6] = 2рх + а^[6]х^[6] около оси х. Валерио, знавший от древних о свойстве гиперболы, выражаемом нами этим уравнением, замечает, что плоскость, перпендикулярная оси, пересечет поверхность по кругу, составляющему сумму кругов, по которым эта плоскость пересекает параболоид и конус, образуемые, соответственно, вращением параболы у^[6] = 2рх и прямой у = ах. Отсюда он заключает, что сегмент гиперболоида равновелик сумме сегмента параболоида и конуса»^[6].

Архимед в свое время определил объем гиперболоида, теперь можно было определить и его центр тяжести. Исследования центров тяжести различных линий и фигур продолжались весь XVII в. Но и приведенных примеров достаточно, чтобы понять, насколько мощно развивалась атомистическая традиция к моменту активного вступления на авансцену Галилея, Кеплера, Кавальери и Ньютона.

• [1] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.; Л., 1938. С. 245.
• [2] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 324.
• [3] Там же.
• [4] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 245.
• [5] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 135.
• [6] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 245.
• [7] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 245.
• [8] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 245.
• [9] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 245.
• [10] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 245.