Математика и физика Р. Декарта

Декарт является одним из главных представителей традиции материального (механического) эфира. В течение трех предыдущих параграфов описывались некоторые математические методы, которым приписывалась связь с материальным (механическим) эфиром. Причем никто из математиков, упоминавшихся в этих параграфах, не говорил о механическом эфире. Практически никто из них не был известен как философ. Особенно это касается античных и европейских авторов. И вот появляется Декарт, который в одном лице объединяет философа, математика и физика. Именно Декарт использует методы Аполлония и Диофанта для описания модели механического эфира. И именно из-за Декарта Аполлоний и Диофант попадают в традицию материального эфира.

Естественно, было бы достойно великого восхищения появление человека, который конституировал бы в одиночку глобальную культурную традицию. Декарт заслуживает огромного уважения, но все же он только возродил древнюю стоическую традицию телесного эфира. Это была мощная, хорошо разработанная концепция. Правда, стоическая традиция к началу XVII в. значительно уступала перипатетизму и атомизму. И вот здесь Декарт сделал неимоверно много как философ. С его помощью стоическая концепция вещественного эфира смогла потеснить и религиозную средневековую философию, и атомизм.

Итак, посмотрим, что нового сделал Декарт. На самом деле он сделал не просто что-то новое, он построил абсолютно новый мир. Вот несколько цитат Декарта, которые не нуждаются в комментариях.

«Отрешитесь на некоторое время от этого мира, чтобы взглянуть на новый, который я хочу на ваших глазах создать в воображаемых пространствах»^[1].

«Не вдаваясь слишком в метафизические рассуждения, я установлю здесь два или три основных правила, в соответствии с которыми, надо думать, Бог заставит действовать природу этого нового мира и которые, по-моему, будут достаточны для того, чтобы понять все остальное»^[2].

«Хотя все то, что мы когда-либо испытали в настоящем мире посредством наших чувств, кажется явно противоречащим тому, что заключается в этих двух правилах, все-таки основание, приведшее меня к ним, кажется мне столь убедительным, что я считаю себя обязанным предполагать их в новом мире, который я вам описываю»^[3].

«Глава VIII. Об образовании солнца и звезд этого нового мира»^[4].

«Поэтому необходимо признать, что у людей этого нового мира будет такая природа, что, когда их глаза будут получать толчки подобного рода, они будут испытывать ощущение совершенно сходное с тем, какое вызывает у нас действие света»^[5].

«Глава XV о том, что небо этого нового мира должно казаться его жителям совершенно подобным нашему. Выяснив природу и свойства действия, рассматриваемого мною как свет, я должен показать, каким образом через его посредство жители планеты, которую я назвал Землей, могут видеть это небо совершенно похожим на наше»^[6].

Вот еще слова Декарта: «Дайте мне материю и движение, — воскликнул он однажды, — и я создам Вселенную!»^[7]

Можно говорить о том, что Декарт говорит о воображаемом мире, но ведь он дает физические законы этого мира. Это мир материального (механического) эфира. А механический эфир в разных формах господствовал в физике до начала XX в. Получается, что физика все это время описывала какой-то другой мир, а не наш. Так же и физика Аристотеля была явно далека от реальности и описывала идеальный космос. Такие же проблемы с реальностью есть и у актуально бесконечных неделимых атомов, парадоксы которых распутывали весь XX в.

Декарт описывал мир, отличный от нашего физического мира. В этом мире существует некоторая телесная материальная субстанция. Эта материальная субстанция (первовещество) потенциально делится до бесконечности. При этом возникают три модификации материи: тяжелые крупные части (земля), средние частицы (воздух) и бесконечно мелкие частицы (огонь). В процессе потенциального бесконечного деления сначала появляется земля. Затем при продолжении деления возникают более мелкие частицы материи — воздух или собственно механический эфир. И после определенной границы в процессе деления материи начинают появляться бесконечно малые частицы огня.

При продолжении бесконечного деления будут появляться все более и более мелкие частицы огня. Чтобы обособить количественно возникающие в процессе деления модификации материи, Декарт располагает землю, воздух и огонь в пропорции: как земля относится к воздуху, так и воздух относится к огню. Таким способом Декарт порождает из первовещсства (материи) физические первоэлементы стоиков. Причем вода тоже возникает при делении где-то между землей и воздухом, но она не участвует в декартовской пропорции, поэтому отдельного ее введения не требуется.

Механический эфир — это одна из трех модификаций материи Декарта. Но эта модификация занимает до 97% Вселенной Декарта. «Каковы бы ни были то неравенство и путаница, которые, как мы можем предположить, были с самого начала установлены Богом между частицами материи, почти все частицы в соответствии с законами, предуказанными им природой, должны приблизиться к некоторой средней величине и некоторому среднему движению и таким образом принять форму второго элемента, описанную мною выше»^[8]. И именно эта субстанция отвечает за движение небольшой части тяжелой материи земли. Математика и физика дают правила взаимодействия механического эфира и тяжелой материи. Приведем эти правила (законы) Декарта — три закона декартовской физики (физики искусственного мира).

«Первое правило заключается в следующем: каждая частица материи в отдельности продолжает находиться в одном и том же состоянии до тех пор, пока столкновение с другими частицами не вынуждает ее изменить это состояние»^[9].

«В качестве второго правила я предполагаю следующее: если одно тело сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого движения, кроме того, которое оно потеряет во время этого столкновения, как не может и отнять у него больше, чем одновременно приобретет»^[3].

«В качестве третьего правила я прибавлю, что, хотя при движении тела его путь чаще всего представляется в виде кривой линии и хотя невозможно произвести, как уже было сказано, ни одного движения, которое не было бы так или иначе круговым, тем не менее каждая из частиц тела в отдельности всегда стремится продолжить его по прямой линии»^[11].

Материальный мир Декарта состоит из материальных частиц. Между этими частицами не признается наличие пустоты. Декарт описывает протяжение как основной атрибут материальной субстанции. «Представим нашу материю, — пишет Декарт, — настоящим телом, совершенно плотным, одинаково наполняющим всю длину, ширину и глубину того огромного пространства, на котором остановилась наша мысль. Представим далее, что каждая из ее частей занимает всегда часть этого пространства, пропорциональную своей величине, и никогда не может заполнить больший или сжиматься в меньший объем или допустить, чтобы одновременно с ней какая-нибудь другая часть материи занимала то же самое место. Прибавим к этому, что нашу материю можно делить на всевозможные части любой формы, какую только можно вообразить, и каждая из ее частей может обладать любым допустимым движением… Не будем, однако, думать, что, отделяя одну часть материи от другой, Бог образовал между ними пустоту, а представим, что все различие частей материи сводится к разнообразию предписанных им движений»^[12].

Отсутствие пустоты сразу отделяет Декарта от атомистов и приближает к стоикам, которые не признавали пустоту между телами. И это действительно так, ведь все тяжелые тела погружены в механический эфир. И даже если вдруг в эфире и возникнет промежуток, то для этого у Декарта есть вид самой мелкой материи, которая этот промежуток заполнит.

Теперь рассмотрим, как философия и физика Декарта преломляются в математике Декарта. Вся математика Декарта посвящена описанию взаимодействий второго вида декартовской материи — механического эфира. Этот вид материи обладает конечной величиной, хотя и очень маленькой по сравнению с землей. Для описания движения таких конечных объектов вполне достаточно алгебры конечных величин.

В этом состоит основное отличие математики Декарта от математики Лейбница, который, также деля материю до бесконечности, сосредоточил свое внимание именно на бесконечно малых частицах декартовского огня. Поэтому Лейбниц и стал основателем второго антиатомистического варианта математического анализа. Но об этом подробнее будет сказано в главе, посвященной Лейбницу.

Декарт давал математическое описание механического эфира, состоящего из абсолютно жестких частиц, причем эти частицы не разделены пустотой, поэтому они могут двигаться только совместно, последовательно занимая места друг друга: «Так как прежде всего в этом новом мире совсем нет пустоты, то невозможно, чтобы все частицы материи двигались прямолинейно. Будучи почти равными и почти одинаково подвижными, они должны согласоваться в несколько круговых движений»^[8].

Так возникают знаменитые декартовские вихри. Эти вихри мало постулировать, их надо математически описать. Необходимо создать их математическую модель. И Декарт создает модель абсолютно жесткого механического эфира. Такая модель не требует использования методов бесконечно малых. Здесь достаточно только одной алгебраической теории. Нет необходимости описывать бесконечно малые частицы огня, упругие колебания и вводить для этого дифференциальные уравнения.

Но для описания такого механического эфира уже существуют математические модели Аполлония и Диофанта. Причем модель Диофанта очень популярна среди алгебраистов XVI—XVII вв. Немного в пренебрежении находится Аполлоний. Одна из математических заслуг Декарта заключается в исправлении этого небрежного отношения к великому греческому математику. Итак, суть методов Аполлония и Диофанта заключается в нахождении пересечений различных линий и нахождении корней уравнений как этих пересечений. И Декарт активно поддерживает эту позицию.

«Декарт выражает надежду, что сумеет доказать, что все проблемы в области непрерывных величин сводятся к разысканию пересечения некоторых линий. При этом проблемы разделяются на три класса. Для решения одних достаточно прямых и кругов. Другие можно решить лишь с помощью иных линий, однако таких, которые возникают в результате „единого движения“ и могут быть описаны посредством „новых циркулей“; эти линии, по мнению Декарта, являются не менее геометрическими и точными, чем предыдущие. Наконец, третий класс проблем можно решать только с помощью линий, порождаемых „различными, взаимно не соподчиненными движениями“, вроде квадратрисы. Декарт утверждает, что всякая задача относится к одному из трех указанных классов, и ставит перед собой цель установить точнее, какие именно вопросы решаются посредством первых двух типов линий, „после чего в геометрии почти ничего не останется искать“»^[14].

Для его целей описания модели взаимодействия абсолютно жесткого механического эфира и тяжелой частицы нужны линии первого и второго класса. Поэтому он исключает из своей математической системы линии третьего класса. Допустимыми являются линии, которые описываются «непрерывным движением или же несколькими такими последовательными движениями, из которых последующие вполне определяются им предшествующими, — ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»^[15]. Недопустимыми являются линии вроде спирали Архимеда и квадратрисы, которые «представляют себе описанными двумя отдельными движениями, между которыми не существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»^[16].

Для Декарта были принципиально важны конические сечения по двум причинам. Во-первых, знание свойств конических сечений позволит правильно описать их пересечение. А именно пересечения конических сечений дает, по Декарту, путь к решению уравнений третьей и четвертой степени. «В 1620-х гг. Декарт открыл нечто более общее: метод решения любого уравнения третьей и четвертой степени пересечением кривых 2-й степени, параболы и круга»^[17].

Во-вторых, конические сечения описывают движения планет под воздействием силы тяжести. Декарт принимал эллиптические орбиты Кеплера в свой новый мир. Но механический эфир должен дать свое объяснение притяжению. И Декарт дает такое объяснение, которое может показаться нам сейчас странным: «Теперь я хочу, чтобы вы рассмотрели, что представляет собой тяжесть этой Земли, т. е. сила, которая соединяет все ее частицы и заставляет их стремиться к ее центру в большей или меньшей степени, в зависимости от их величины и плотности. Сила эта состоит только в том, что частицы малого неба, окружающего Землю, вращаясь гораздо быстрее вокруг ее центра, чем частицы Земли, с большей же силой стремятся от нее удалиться и вследствие этого отталкивают туда последние»^[18].

Итак, механический эфир имеет стремление удалиться от центра вихря. Когда давалось описание конических сечений Аполлония, то это движение описывалось с помощью ординат конического сечения. Движение же тяжелой материальной точки интерпретировалось как инерционное движение по прямой. Этому движению изначально соответствует диаметр конического сечения, а после воздействий со стороны эфира — касательная к коническому сечению. Декарт как раз и вводит в своей системе такое инерционное движение.

Но это движение не субстанционально в отличие от атомизма, ибо сама материальная частица пассивна и все движение она получает извне. Если частица «начала двигаться, то будет продолжать это движение постоянно с равной силой до тех пор, пока ее не остановят или не замедлят ее движения»^[19]. Декарт высказывает это положение, касающееся движения, и в иной форме: «Каждая из частиц по отдельности всегда стремится продолжить его по прямой линии»^[20]. Таким образом, уравнения конических сечений вполне укладываются в схему абсолютного жесткого механического эфира Декарта.

Но вернемся к пересечениям. Конические сечения описываются линиями второго порядка, т. е. уравнениями второй степени. Пересечения конических сечений у Аполлония дают уравнения третьей и четвертой степени. Диофант пошел еще дальше по сравнению с Аполлонием. В его «Арифметике» встречаются задачи, описываемые уравнениями вплоть до шестой степени включительно. Естественно, Декарт был знаком с сочинением Диофанта и также начал изучение кривых выше второй степени, ибо для получения уравнений пятой и шестой степени необходимо использовать именно такие кривые.

Итак, всякая кривая может быть описана некоторым уравнением. Декарт говорит о том, что все точки геометрических линий «обязательно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»^[21], т. е. кривая располагается, например, на плоскости геометрически в виде линии, но описана она алгебраически с помощью двух координат х и у. Но здесь возникает сложный математический и метафизический вопрос.

Возможно сказать, что точка движется по этой сложной траектории, например по линии с уравнением четвертой степени, т. е. можно уравнение четвертой степени представить как кривую четвертой степени. Но на самом деле материальная точка за счет своего инерционного движения сама участвует в формировании этой траектории. Другим участником является, естественно, механический эфир. Эфир является активным началом. Он дает импульсы, которые изменяют инерционное (пассивное, инертное) движение тяжелой материальной точки. Абсолютно жесткий механический эфир в модели Декарта движется по кругу, как бы расширяясь. Поэтому любую кривую как траекторию на самом деле надо делить на две кривые, которые ее порождают. Так делал Диофант, когда использовал пересечение круга и параболы для решения уравнений степени выше второй.

Так же действует и Декарт. Метод Декарта «заключался в том, что посредством введения второй неизвестной решаемое уравнение разбивалось на два. Эти два уравнения выражали в новой геометрии Декарта геометрические места, пересечение и доставляло искомые корни»^[22]. Например, уравнение четвертой степени Декарт разбивает на два уравнения второй степени (окружность и парабола). Тогда получается, что механический эфир активно движется по кругу, а тяжелая материальная точка — инерционно, но параболе.

Вопрос о количестве точек пересечения кривых рассматривался в алгебраической традиции очень давно. Ко времени Декарта сложилось достаточно твердое убеждение, что количество точек пересечения (количество корней уравнения) равно степени уравнения. Поэтому при пересечении параболы и круга должно возникнуть четыре точки пересечения, а значит, и четыре корня. После исследований итальянских алгебраистов XVI в. было известно, что корни бывают положительные, отрицательные и мнимые. Естественно, что со времен Античности интерес всегда вызывали только положительные корни, ибо только эти точки пересечения описывали реальные траектории движения тел и реальные положения тяжелых материальных тел. На остальные корни либо не обращали внимания, либо заранее исключали их с помощью диоризмов — ограничений, накладываемых на задачи.

Декарт отчасти тоже следовал этой традиции. Он говорил, что положительные и отрицательные корни есть истинные корни. Причем положительные корни находятся по одну сторону оси ординат, а отрицательные — по другую сторону. Мнимые же корни являются лишь воображаемыми и не подлежат рассмотрению. Роль мнимых корней стала проясняться лишь в XVIII в., когда они стали появляться в моделях упругого механического эфира, находящегося в постоянном колебательном движении.

Итак, рассмотрев уравнения третьей и четвертой степени, Декарт предпринял следующий решительный шаг. Он экстраполировал свой метод на уравнения выше четвертой степени. Для европейских математиков XVII в. это было откровением. Диофант тоже решал уравнения степени выше четвертой, но алгебраические методы решения неопределенных уравнений были очень сложны уже для третьей и четвертой степени. А здесь появляется Декарт и в наглядной геометрической форме с помощью пересечений дает способ решения этих сложных уравнений.

Что же сделал Декарт? «В „Геометрии“ Декарт нашел особую кубическую кривую, так называемую декартову параболу, пересечения которой с соответствующим кругом дают решение любого заданного уравнения пятой или шестой степени. Декарт завершает книгу этим результатом, сообщая читателю, что „нужно только следовать тому же методу, чтобы построить все задачи, все более и более сложные, до бесконечности; поскольку в случае математической прогрессии, всякий раз, когда заданы первые два или три члена, легко найти остальные“»^[23]. На самом деле Декарт рано радовался. Уже к 1750 г. эти радостные попытки вполне иссякли. Стало вполне очевидно, что такое общее построение для уравнений п-й степени невозможно.

Теперь разберем вопросы, связанные с проведением секущих, касательных и нормалей. Декарт достаточно часто пользовался элементарной диофантовой подстановкой х — а. Эта подстановка означала проведение секущей к данной кривой. С помощью такой подстановки удавалось снижать степень исходного уравнения. Такого рода подстановки в новоевропейской математике использовали Нуньес (с 1567 г.), Виет и многие другие. Вопрос нахождения касательной к кривой Декарт связал с нахождением нормали.

Напомним, что по касательной двигалась бы тяжелая материальная точка, если бы она избавилась от воздействия со стороны эфира. Поэтому вопрос о проведении касательных и нормалей был достаточно актуален для математики механического эфира. Декарт признавал, что задача о нормалях «является наиболее полезной и общей не только среди известных мне, но также среди всех тех задач, которые я когда-либо желал знать в геометрии»^[24].

Для получения нормали Декарт пользуется своим основным приемом — пересечением кривых линий. В данном случае используется пересечение окружности и кривой, т. е. Декарт таким способом как бы исключает эфирный вихрь и эфирное воздействие. Но этого оказывается, по Декарту, недостаточно. Окружность пересекает кривую в двух точках. Далее Декарт строит между этими точками секущую, а затем сжимает ее в одну точку. Так получается двойная точка, в которой оказываются два корня. Эти корни выражаются квадратным двучленом.

• [1] Декарт Р. Сочинения. В 2 т. М. 1989. Т. 1. С. 195.
• [2] Там же. С. 199.
• [3] Там же. С. 202.
• [4] Там же. С. 204
• [5] Там же. С. 236.
• [6] Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 240.
• [7] Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. М.; Ижевск. 2001. С. 26.
• [8] Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 206.
• [9] Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 200.
• [10] Там же. С. 202.
• [11] Там же. С. 204.
• [12] Декарт Р. Избранные произведения. М.: Госполитиздат, 1950. С. 194—195.
• [13] Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 206.
• [14] Юшкевич А. П. О «Геометрии» Декарта // Декарт Р. Геометрия. М.; Л., 1938. С. 542.
• [15] Декарт Р. Геометрия. С. 321.
• [16] Там же.
• [17] Стиллвелл Д. Указ. соч. С. 120.
• [18] Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 220.
• [19] Декарт Р. Избранные произведения. С. 198.
• [20] Декарт Р. Избранные произведения. С. 202.
• [21] Декарт Р. Геометрия. С. 323.
• [22] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 58.
• [23] Стиллвелл Д. Указ. соч. С. 120—121.
• [24] Декарт Р. Геометрия. С. 342.