Древний Египет и Вавилон

Данный параграф будет посвящен атомистической математической традиции в Древнем Египте и Вавилоне. Но начать следует с общих замечаний касательно источников, характера и объема древних математических знаний. Древние не приписывали себе знаний, которые они приобретали. Эти знания принадлежали, по их свидетельствам, более древним народам, которых они в священных книгах называли «первые поколения». Существовали ли высокоразвитые древние цивилизации или нет, должна доказать или опровергнуть археология. Но реконструкцию культуры древних цивилизаций необходимо осуществлять исходя из внутренних мировоззренческих установок этих древних народов.

Одним их таких постулатов являлось представление о существовании «золотого века», богов и «первых поколений». Если не учитывать основные посылки древнего мировоззрения, то при реконструкции получится существенно неправильная теория. И такая теория будет принципиально неправильно и искаженно отражать мировоззрение древних. Поэтому одна из методологических установок данной работы заключается в том, чтобы встать на точку зрения древних и на этой основе максимально полно и непротиворечиво описать их мировоззрение исходя из принятых ими мировоззренческих аксиом.

В начале этого параграфа следует составить общее представление о состоянии египетских и вавилонских математических знаний. Как отмечено выше, для этого следует привести представления древних о происхождении и давности тех философских и математических знаний, которые известные нам цивилизации унаследовали, хранили и ретранслировали. «Блаженный Аристотель утверждает, что одни и те же представления часто возникают у людей через некие определенные промежутки в круговом движении мира, поэтому науки впервые были созданы не нами или теми, кого мы знаем. Но уже появлялись во время прежних круговоротов (нельзя сказать, скольких по числу) и опять будут появляться в будущих»^[1].

Более того, ни египтяне, ни вавилоняне не стремились в прямом смысле слова открыть эти знания людям, как это позже сделали греки, еще приписав себе славу создания этих знаний. Математические и философские знания в этих цивилизациях были сакральным уделом особых посвященных каст жрецов. Имеющиеся у нас источники явно носят характер предварительного ученичества и совсем не похожи на фундаментальные публичные великие трактаты Античности, например «Начала» Евклида или «Конические сечения» Аполлония. Из-за этой скрытности традиционно считается, что цивилизации Древнего Египта и Вавилона были слабо развитыми как в техническом, так и в научном отношении. Но новые факты все более заставляют нас изменить такое отношение к этим первым историческим цивилизациям Древнего мира.

Вот свидетельство Г. Г. Цейтена о египетской и вавилонской цивилизациях: «Обладая высокой во многих отношениях цивилизацией, ведя обширную торговлю и возводя, как мы уже указали, крупные сооружения, египтяне нуждались в известных способах вычисления и в геометрических знаниях, выходящих из рамок одного лишь землемерного искусства. Другим доказательством известной высоты достигнутого ими уровня знаний в математике является их астрономия, далеко уступающая, впрочем, по своему значению вавилонской астрономии»^[2].

Другое мнение принадлежит М. Я. Выготскому, который выступает против признания безоговорочного превосходства вавилонян над египтянами: «Можем ли мы a priori поставить египетскую математику на голову ниже вавилонской? Ведь во всех остальных областях культуры эти две страны стояли на равной высоте. Кроме того, между этими странами существовало и культурное общение, так что трудно допустить, чтобы распространенные в Вавилоне методы могли бы остаться неизвестными в Египте.

И действительно, присматриваясь к задачам, известным нам из вавилонских текстов, мы находим среди них такие, которые схожи по содержанию с египетскими. Особенно интересно то, что сходство таких задач обнаруживается не только в содержании, но и в методе решения. Наконец, и форма изложения там и здесь одна и та же. Все это говорит против предположения о том, что египетская математика была на голову ниже вавилонской"^[3].

Но Цейтен также не стремится принижать роль древнеегипетского знания. Вот еще одна его цитата: «Впрочем, если Демокрит в эпоху, когда греческая геометрия стояла уже на довольно значительной высоте, мог ссылаться, как на доказательство своего искусства в геометрических построениях, на тот факт, что его ни разу не превзошли египетские гарпедонанты (натягивающие веревку), т. е. люди, которые должны были, соблюдая торжественные обычаи, следить за тем, чтобы храмы были в точности расположены, но солнцу, то трудно предположить, чтобы знания таких людей ограничивались такими простыми построениями, как упомянутые нами выше»^[4].

Теперь рассмотрим вопрос о том, считать ли науку Древнего Египта и Вавилона преднаукой или наукой. Основным недостатком познаний этих цивилизаций считается отсутствие систематичности изложения. Эта систематичность приводится современными учеными как одна из существенных черт науки в отличие от преднауки. В качестве эталона такого систематического изложения приводятся «Начала» Евклида. Думается, что столь формальный признак нельзя положить в основание отличия науки от преднауки. Если кто-то захочет изложить современный функциональный анализ в виде рецептов, то разве от этого функциональный анализ перестанет быть наукой? Думается, что считать так было бы неразумно. Также и использование приближенных методов вычисления тоже нельзя полагать как признак преднауки, ибо в современном математическом анализе доля приближенных методов чрезвычайно высока.

Необходимо рассматривать знания по существу, а не по форме изложения. Тем более что от древнегреческой науки до пас дошли практически все общепризнанные лучшие образцы математических сочинений, в то время как найденные нами египетские и вавилонские источники явно носят ученический характер. Вот еще одно высказывание М. Я. Выготского: «Мы видели, что египетские математические тексты содержат либо схему решения, либо его словесный рецепт, но не содержат ни анализа задачи, ни обоснования приведенного рецепта.

Значит ли это, что египетские вычислители не производили анализа и не умели обосновать решения? Отнюдь нет. Напротив, из приведенных примеров видно, что в основе решения каждой задачи лежит продуманный план, который по принятой педагогической традиции не излагается (чем вызвана такая традиция — к этому вопросу мы еще вернемся в дальнейшем). Отсюда вывод: если среди имеющихся у нас древнеегипетских задач мы находим такие, методическое решение которых требует высокого уровня математических знаний, и для них дан правильный ответ, то мы вправе заключить, что соответствующий уровень науки был в Египте достигнут"^[5].

Отличие науки от преднауки следует полагать в цели знания и наличии философских оснований. Тогда перед нами наука. А если ученые не осознают цели и основания, то перед нами техническое применение. Как правило, такая ситуация возникает, когда наука используется как средство для решения военных или экономических целей. Но, собственно, людей, участвующих в такой деятельности, называют не учеными, а инженерами. А преднаукой и донаукой можно считать знания тех обществ, которые обладают познаниями, но не понимают их целей и оснований.

Познания древних египтян и древних вавилонян следует считать наукой, ибо они обладали пониманием смысла, который заключается в поэтапном преобразовании хаоса в космос. Это закреплено в их религиозно-мифологических представлениях. А математика и физика вплетены в общую с этими представлениями систему. Вот что сказано в древнеегипетском математическом папирусе о его назначении: этот папирус посвящен «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн»^[6]. Здесь можно говорить о степени осознанности данной традиции в каждый исторический период теми или иными поколениями жрецов, но это уже принципиально случайные моменты.

Теперь перейдем к непосредственному рассмотрению атомистической традиции в Древнем мире. К сожалению, свидетельства о наличии атомистической традиции в Древнем Египте практически отсутствуют. Разве что только система двоичного умножения, которая используется в современной компьютерной технике, может косвенно подтвердить гипотезу о существовании атомизма в Древнем Египте. Изложение системы исчисления египтян все же проведено в главе, посвященной первоэлементам, т. е. пока отнесено к другой традиции.

Но вполне достаточный материал по атомизму предоставляет вавилонская цивилизация в лице халдеев. Попытаемся составить картину халдейских представлений о математике и астрономии. О древности вавилонской астрономической традиции существует множество свидетельств. Приведем свидетельство Аристотеля в изложении Лапласа: «Птолемей оставил нам несколько таких наблюдений. Наиболее древние из них — это три затмения Луны, наблюдаемые в Вавилоне в 720 и 719 гг. до н.э. и использованные им для определения движения Луны.

Несомненно, Гиппарх и он не имели более древних наблюдений, которые были бы достаточно точны, чтобы служить для этих определений, точность которых зависит от интервала времени, разделяющего крайние наблюдения. Это соображение должно уменьшить наше сожаление о потере халдейских наблюдений, которые Аристотель, если верить Порфиру, цитированному Симплициусом, получил в передаче от Каллисфена и которые относились к эпохе, девятнадцатью веками предшествовавшей царствованию Александра [Македонского, 356—323 гг. до н.э.|. Но халдеи не могли бы открыть иначе, чем длинным рядом наблюдений, период в 6585Уз суток, в течение которых Луна делает 223 обращения относительно Солнца, 239 аномалистических обращений и 241 обращение относительно своих узлов"^[7].

Собственно халдеи — это жреческая каста, которая основала Нововавилонское царство. Это царство достигло наивысшего господства в конце VII — начале VI в. до н.э. после победы над Ассирией, но достаточно быстро пало под ударом персидских варваров. Само халдейское царство было уничтожено, но халдеи остались. Поэтому вавилонская математика V в. до н.э. была халдейской математикой. Халдейская математическая традиция была тесно связана с астрономией. И. Н. Веселовский относит начало развития вавилонской планетной астрономии к VI в. до н.э.^[8]

Халдеи были способны предсказывать затмения, противостояния и соединения планет. Но самое важное для атомистической традиции заключается в следующих достижениях вавилонян. Веселовский пишет, что «автор так называемой 14 книги „Начал“ Евклида александриец Гипсикл в своем „Анафорике“ пользуется введенным вавилонским астрономом Кидипну способом представления постепенного изменения скорости движения планет при помощи арифметической прогрессии — нечто аналогичное введеному Галилеем равноускоренному и равнозамедленному движению»^[9]. Представления Галилея о равноускоренном движении — это уже безусловно атомистическая традиция. Подробно об этом будет говориться в параграфе, посвященном Галилею.

Основным математическим инструментом халдеев являлась «арифметическая прогрессия с постоянной разностью, возрастающая и убывающая между фиксированными пределами»^[10]. Эта прогрессия использовалась для описания неравномерного движения Солнца, Луны и планет. «Они оперируют либо со ступенчатыми функциями (тип Л), либо с линейными зигзагообразными функциями (тип В)»^[11]. Скорости движения небесных светил выстраиваются в таблицы, в которых заключены данные наблюдений за сотни лет.

На одной из клинописных глиняных табличек III—II вв. до н.э. была найдена таблица лунных эфемерид. Эта таблица описывала моменты соединения Луны и Солнца. Данные этой таблицы как раз и выстраивались в виде зигзагообразной функции. «Астрономы того же времени составляли таблицы, характеризующие зависимость скорости Солнца v от его эклиптической долготы X. Эти таблицы можно графически представить ступенчатыми ломаными линиями»^[12]. Нейгебауэр считает, что ступенчатые функции отражают более простой и непрерывный способ описания движения. А зигзаобразные функции позволяют описать явные разрывы непрерывности (скачки), которые присутствуют в таблицах. На рис. 1.4 дано изображение скорости движения Солнца в случае, если скорость Солнца «считается постоянной на двух дополняющих друг друга дугах эклиптики»^[13]. На рис. 1.5 изображено зигзаобразное движение (тип В).

Рис. 1.5.

Халдеи откладывали значения убывающей последовательности чисел на графике с равноотстоящими точками так же, как это делали Орезм и Галилей при описании равномерных и равноускоренных движений. Эти числа представляются линиями на графике и отражают годичное изменение скорости Солнца.

Математика первоэлементов принципиально не оперирует разрывными функциями. Алгебра материального эфира способна давать описания функций, соответствующих типу А. Об этом будет более подробно рассказано во второй главе этой книги. А вот зигзагообразные функции типа В потребовали использования древней атомистической традиции. Атомизм способен работать вне непрерывности. Он способен рассматривать даже всюду разрывные точечные функции. Задача движения планет математически «решается арифметическими средствами, аналогичными приближению синусоидальной кривой линейной зигзагообразной функцией»^[14].

Поэтому вавилонская планетная астрономия обязана была использовать атомистические методы. Так что во времена Кидипну, который применял линейные зигзагообразные функции^[15], атомизм у халдеев точно был.

Приведем еще один факт в подтверждение наличия атомизма у вавилонян: «В селевкидских текстах находятся задачи с суммированием п членов геометрической прогрессии, например 2°, 2^[15], 2^[17], 2^[18], …, 2⁹, правда, способ решения из текста не совсем ясен. По-видимому, было обнаружено, что в такой прогрессии S_n = (S_n_i + 1) + S_n__{, — это легко заметить при небольшом количестве слагаемых. Особенно замечательно правило суммирования ряда натуральных квадратов, высказанное применительно к сумме I^[17] + 2^[17] + + …+ 10^[17]; в буквенном выражении его можно записать следующим образом:

п п

^т^[17] =(1 1/3 + 72−2 / 3 )N, где N = ?т«^[17]. Относительно этих клинопис- 1 1.

ных табличек Ван дер Варден делает следующее замечание: «Правда, текст этот очень поздний, но он очень похож на древневавилонские тексты»^[18]. Очевидно, что эти суммирования принадлежат к атомистической традиции. Именно с них начинался атомизм Нового времени.

Свидетельство о вавилонском астрономе Кидипну и селевкидских текстах, естественно, не является доказательством в пользу наличия у халдеев этих атомистических знаний уже в V в. до н.э. Но традиция вавилонской планетной астрономии идет еще с VI в. до н.э. И эта традиция совпадает с тем, что было у Кидипну. А раз традиция одна, то и основоположения традиции должны быть одни. Значит, должен быть атомизм и в VI в. до н.э. Причем суммирование квадратов вообще относится к еще более древнему периоду.

О. Нейгебауэр так говорит о древневавилонском периоде: «Возвращаясь к древневавилонскому периоду, мы находим много других свидетельств высокого искусства вычислений у писцов этого периода. Мы находим таблицы квадратов и квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, необходимых для численного решения кубических уравнений специального типа, таблицы показательных функций, применявшиеся для вычисления сложных процентов, и так далее … Наконец, нет никакого сомнения, что рассматривались такие задачи, которые в современном смысле выходят за пределы алгебры. Это ясно не только из задач на сложные проценты, но и из числовых таблиц для последовательных степеней данных чисел. С другой стороны, мы имеем тексты, посвященные определению показателей данных чисел. Иными словами, фактически экспериментировали со специальными случаями логарифмов, однако без какого-либо общего использования этой функции»^[25].

Сразу следует оговориться, что атомизм является одной из математических традиций. В Вавилоне были также развиты математика первоэлементов и, особенно, алгебраическая традиция математики материального эфира. Влияния вавилонской алгебры на Диофанта общепризнанно. Халдеи обучали Демокрита, и через него атомистическая традиция закрепилась в Древней Греции.

• [1] Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида.

  Введение

  М., 1994. С. 161.

• [2] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.; Л., 1932. С. 22.
• [3] Выготский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М., 1967. С. 75.
• [4] Цейтен Г. Г. Указ. соч. С. 23.
• [5] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 57—58.
• [6] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. М., 1970. С. 20.
• [7] Лаплас П. С. Изложение системы мира. М., 1982. С. 261.
• [8] Архимед. Сочинения. Вступительная статья И. II. Веселовского. М., 1962. С. 39.
• [9] Там же. С. 39.
• [10] Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968. С. 116.
• [11] Там же. С. 132.
• [12] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 41.
• [13] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 120.
• [14] Там же. С. 123.
• [15] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 139.
• [16] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 139.
• [17] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 40.
• [18] Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилонаи Греции. М., 1959. С. 105.
• [19] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 40.
• [20] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 40.
• [21] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 40.
• [22] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 40.
• [23] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 40.
• [24] Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилонаи Греции. М., 1959. С. 105.
• [25] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 49, 58.