Уравнения Максвелла. 
Электродинамика и распространение радиоволн

В курсе физики рассмотрены основные уравнения, характеризующие электромагнитное поле. Обычно они даются в интегральной форме:

где Н, Е_— напряженности магнитного и электрического полей; В, (t> = jBdS — индукция и поток магнитного поля; q — заряд внутри объема, охваченного поверхностью интегрирования S; г — ток через сечение, охватываемое контуром интегрирования I; е_а — абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Эти уравнения имеют специальные названия: закон полного тока, закон электромагнитной индукции, закон Гаусса, принцип непрерывности магнитного поля.

Если разделить обе части уравнений (1.1) и (1.2) на площадь AS, охваченную контуром интегрирования, и устремить ее к нулю, то получим уравнения Максвелла

Если разделить обе части уравнений (1.3) и (1.4) на объем ДУ, охватывающий поверхность интегрирования, и устремить его к нулю, то получим уравнение Гаусса и принцип непрерывности магнитного поля в дифференциальной форме:

В этих уравнениях р= Нт — объемная плотность заряда;

лг->оДУ.

J - Пш—плотность тока.

as->o AS

Максвелл считал, что уравнение (1.7) следует писать в более общем виде: divD = р. Это так называемый постулат Максвелла. Позже он был подтвержден экспериментально.

Рассмотрим уравнения Максвелла (1.5) и (1.6). Из первого уравнения (1.5) следует, что всюду, где имеется электрический ток, создается вихревое магнитное поле, так как rot (ротор) — это функция, характеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей. Плотность тока может иметь в общем случае четыре составляющие:

Плотность тока смещения — одно из значимых понятий теории электромагнитного поля. Во-первых, существенно, что по отношению к магнитному полю ток смещения «копирует» роль обычного тока проводимости. Это очевидно из первого уравнения Максвелла, в котором ток проводимости и ток смещения (или их плотности) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что физическая сущность тока смещения в вакууме никак не связана с движением зарядов.

Правая часть первого уравнения Максвелла в интегральной форме (1.1) представляет собой полный ток /_см + I, а величина dD/dt + J в уравнении (1.5) — плотность полного тока. В отсутствие магнитного поля (Я = 0) равен нулю и полный ток. Если полный ток существует, то обязательно присутствует магнитное поле.

Если определить дивергенцию от правой и левой частей уравнения (1.5), то получим div J =0, так как по определению div rot Я = 0. Отсюда следует, что плотность полного тока не имеет источников или стоков. Его векторные линии замкнуты, не имеют ни начала, ни конца.

— 8D

Если правую часть уравнения (1.9) записать в виде J н—, то.

dt

так как div D = р. Это так называемый закон сохранения заряда.

Второе уравнение Максвелла (1.6) показывает, что всюду, где есть изменение магнитного поля, создается вихревое электрическое поле.

При анализе третьего уравнения (1.7) следует иметь в виду, что дивергенция (расхождение) вектора характеризует возникновение и исчезновение его в соответствующей точке пространства. Если дивергенция положительна, там исток, если отрицательна — там сток. Таким образом, напряженность электрического поля возникает на положительных зарядах и исчезает на отрицательных, т. е. имеет начало и конец. В области, где нет зарядов div Е = 0, поле соленоидально.

Четвертое уравнение (1.8) показывает, что магнитное поле непрерывно, т. е. не имеет ни истоков, ни стоков.