Погрешность решения разностной схемы
Для того чтобы разностная схема (3.4), аппроксимирующая дифференциальное уравнение (3.3), была устойчива, необходимо (согласно определению устойчивости разностных схем), чтобы норма погрешности на (л + 1)-м шаге по времени не превосходила нормы погрешности на л-м шаге по времени, то есть: В настоящем учебном пособии изучается два метода, позволяющих исследовать устойчивость разностных схем… Читать ещё >
Погрешность решения разностной схемы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В настоящем учебном пособии изучается два метода, позволяющих исследовать устойчивость разностных схем. Первый из них называется гармоническим или спектральным методом анализа разностных схем. Второй — метод тестовых задач — будет описан в конце курса.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа, свободный член которого не включает искомую функцию u (t, х):
Запишем для него явную разностную схему:
Погрешность решения разностной схемы (3.4) в точке (/w, хj) можно представить с помощью соотношения:
Здесь ип. — решение разностной схемы (3.4) в точке (/", х); ИЛ*,)] — истинное решение исходного дифференциального уравнения (3.3) в точке (/", хj). Выражая из данного соотношения ип- и подставляя в разностную схему (3.4), получаем:
В разделе 2.3.3 было доказано, что разностная схема (3.4) имеет порядок аппроксимации:
Следовательно, имеет место следующее равенство:
С учётом данного выражения получаем разностную схему для погрешности решения:
Выразим из соотношения (3.5) величину погрешности на (п + 1)-м шаге по времени: 
Последний член в правой части полученного выражения имеет порядок малости, явно меньший At, что позволяет им пренебречь. Таким образом, получаем:
Представим данное выражение в операторном виде:
Здесь В — оператор перехода от л-го шага по времени к (л + 1)-му шагу по времени; гп — вектор погрешностей; Е — единичный оператор:
Для того чтобы разностная схема (3.4), аппроксимирующая дифференциальное уравнение (3.3), была устойчива, необходимо (согласно определению устойчивости разностных схем), чтобы норма погрешности на (л + 1)-м шаге по времени не превосходила нормы погрешности на л-м шаге по времени, то есть:
Погрешность решения разностной схемы в точке (/", дс.) можно представить в виде комплексного выражения (гармоники):
где X — собственное число оператора перехода В; i — мнимая единица.
Теорема. Для того, чтобы разностная схема была устойчива (т.е. для выполнения условия (3.6)), необходимо, чтобы все собственные числа оператора перехода В удовлетворяли условию:
Это условие является необходимым условием устойчивости разностных схем.