Ранговая корреляция при обработке результатов эксперимента

Допустим, что имеется п объектов (факторов, характеристик), которые нужно проранжировать по признаку х. Рангом называется место, которое занимает i-й объект (фактор, характеристика) (t = 1, 2, …, п) среди всех сравниваемых. Ранжирование — это приближенное выражение упорядоченной связи п объектов относительно некоторого признака качества или упорядоченное расположение п факторов, действующих на объект, по степени их влияния на выходной показатель качества. В нормированном уравнении регрессии, где имеются количественные коэффициенты а, (г = 1,…, п), их можно проранжировать [17], например, по их абсолютной величине, тогда уравнение регрессии представимо приближенно в виде.

где Zj (i = 1,…, n) — входной фактор, пронормированный соответствующим образом [2, 3], причем Zj — наиболее существенный, a z_n — наименее существенный фактор.

Глубина связи между двумя группами ранжированных объектов (двумя ранжировками одной группы объектов по двум признакам или ранжировками единственной группы по одному признаку, но произведенными двумя экспертами) оценивается коэффициентом ранговой корреляции, смысл которого станет ясным ниже.

Пусть п объектов проранжированы два раза по различным признакам х и у (табл. 2.7).

Таблица 2.7. Ранжировка одной группы объектов по двум признакам.

Рассмотрим объекты с номерами i и I (i < I). Пусть связь между рангами х, и х, выражается числом а_а, а между у, и у, — числом Ь_а. Используем условия.

Очевидно, что коэффициент ранговой корреляции, как и коэффициент парной корреляции, должен удовлетворять следующим условиям: 1) при полном соответствии ранжировок по признакам х и у равняться +1; 2) при полном несоответствии ранжировок, когда ранжировка по признаку у является обратной по сравнению с ранжировкой по признаку х, равняться -1; 3) при полной независимости двух ранжировок равняться 0; 4) в остальных промежуточных ситуациях должен лежать в пределах от -1 до +1. Тогда обобщенный коэффициент ранговой корреляции можно выразить формулой [17, 25].

Из (2.2) не вполне ясен физический смысл коэффициента К, так как не видно, как формируются числа а," Ь_и. Существует несколько способов формирования этих чисел. Рассмотрим два из них.

1. Коэффициент ранговой корреляции по Кэндэлу [25].

М. Кэндэл предложил формировать числа а,₇ по следующему принципу [17]:

Тот же принцип применяется для формирования Ь_и:

Пример 2.8.

10 студентов были проранжированы деканатом по математическим и гуманитарным способностям. Результаты ранжирования сведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8. Ранжирование и объектов по признакам х и у

Покажем, как в этом случае формируются числа а,₇, Ь_п. Положим, i = 1 (студент Л) и I = 2 (студент В), тогда а, ₂ = -1, так как по признаку х (математик) ранг х₇ = 7 студента А больше, чем рангх₂ = 4 студента В в соответствии с формулой (2.3); при этом Ь₁₂ = +1, так как по признаку у (гуманитарий) рангу₇ = 5 студента А меньше, чем рангу₂ = 7 студента В, здесь действует формула (2.4). Сведем полученные числа а_й, Ь_и для всех сочетаний i, 1 = 1,2,…, 10 (i < 0 в табл. 2.9, а числа а,₇ для всех сочетаний ранжированных объектов — в табл. 2.10 и 2.11.

Таблица 2.9. Результаты сочетаний ранжированных объектов.

Таблица 2.10. Числа афу для всех сочетаний ранжированных объектов (|,/= 1-Ю, /</).

Таблица 2.11. Числа афу для всех сочетаний ранжированных объектов (i, I = 1−10, / < /).

Очевидно, знак произведения а₍₁Ь_а зависит от того, в каком порядке следуют ранги х_г— и х, по признаку «х» и в каком относительном порядке оказались при этом ранги у, и у, по признаку «у»: если х, < X/ и одновременно у, х, и у, > у,), то знак произведения будет положительным — это маленький вклад в положительную корреляцию; но если ранги оказались расположенными в разном порядке, то знак произведения а_пЬ₍₁ станет отрицательным — это вклад в отрицательную корреляцию. Общий коэффициент ранговой корреляции, его знак и величина будут зависеть от того, каких вкладов оказалось больше: положительных Р или отрицательных Q. Подсчитывают суммы.

Подсчитав указанные суммы в нашем примере, получим Р = = 21, Q = 24 и вычитая Q из Р, получим разность приписанных значений S = Р-Q, т. е. S = 21 -24 = -3. Разность приписанных значений S является абсолютной числовой характеристикой ранговой корреляции. На практике пользуются относительной числовой характеристикой ранговой корреляции, аналогичной нормированному коэффициенту парной корреляции. Естественно брать отношение разности S к сумме всех возможных произведений а_аЬ_и. Тогда коэффициент ранговой корреляции по Кэн;

дэлу.

где С" — число сочетаний из л элементов по 2. В примере.

2. Коэффициент ранговой корреляции по Спирмэну. Численные коэффициенты а_п и Ь_и равны.

гдех, и у, — ранги п объектов по признакам* иу, как и в (2.3), (2.4). Тогда формула (2.2) принимает вид.

Упростим это выражение. Так как ранги x_t и у, принимают значения.

то, введя обозначение разности рангов d, по х и у d, = х, -у".

Тогда получим коэффициент ранговой корреляции по Спирмэну [2, 3, 25] в виде.