Денежное богатство как фактор полезности (упрощенная модель Сидрауски)

Полезность зависит от подушевого потребления (с = С / L) и подушевого реального денежного богатства (т = М / PL). Потребители максимизируют дисконтированный поток полезности при норме дисконта 0:

Доход потребителей равен зарплате (wL) плюс доходы с капитала (гК)_у а расходы — сумме потребления, инвестиций (К) и прироста реальных денежных запасов (М / Р)

где Р — дефлятор; L — неизменная численность населения; г — реальная ставка процента.

Разделим (2.56) на I, тогда имеем: где k — фондовооруженность.

Подушевое богатство есть сумма k и денежного богатства: а = k + т. Из (2.57) следует:

Из (2.59) следует, что скорость изменения богатства равна доходу за вычетом потребления и инфляционного налога. Решим задачу максимизации (2.55) при ограничении (2.58). Гамильтонова функция:

Из двух условий оптимума получим взаимосвязь предельной полезности потребления (MU_C) и предельной полезности денег (MU_m):

где i = п + г — номинальная ставка процента.

Из (2.60) можно получить зависимость оптимального объема текущего потребления от накопленного денежного богатства.

Частный случай 1. U = с^ат¹~^а. Определим оптимальный удельный вес потребления в денежном богатстве. Из (2.60) следует, что текущее потребление пропорционально денежному богатству:

Если, а = 1 / (1 + i), т. е. значимость потребления близка к единице, тогда потребитель в течение года тратит все накопленные деньги (с = т). Потребление растет с ростом ставки процента (i = к + г): если растет г, то увеличивается реальный доход от капитала, поэтому растет потребление, если растет я, то потребители спасают деньги от инфляции, запасая товары впрок, и текущее потребление также растет.

Пример Антон накопил 4 млн руб. и сдает свою квартиру стоимостью 5 млн руб., его годовая зарплата — 1,2 млн руб., функция полезности U = с⁰-⁷//*⁰-³, номинальная ставка процента — 10%, инфляция — 8%.

Найдем оптимальное потребление и прирост богатства.

Из (2.61) следует:

Поскольку т = 4 и потребление составляет 23% этой суммы, то его величина равна 0,92 млн руб. Прирост богатства равен.

Частный случай 2. U = апс+Ь]т. Тогда оптимальный объем потребления пропорционален квадратному корню из величины денежного богатства:

С ростом денежного богатства каждый дополнительный накопленный рубль вызывает все меньший прирост текущего потребления.