Компьютерная технология проблемного изучения колебательных процессов

Описание конкретной программы мы предварим несколькими положениями, определяющими специфику и функции учебного моделирования:

• 1) компьютерная модель создается на основе содержательного анализа объекта усвоения;
• 2) учебное компьютерное моделирование создается для усвоения системы понятий. Целостность этой системы определяется внутренней связью моделирующих ее действий и операций;
• 3) при компьютерном моделировании отдается предпочтение операциональной форме усвоения понятий;
• 4) в процессе учебного моделирования учащиеся должны активно воздействовать на среду. Однако необходимо помнить, что вопросы задаются не самой природе, а ее модели, свойства и ограничения которой необходимо учитывать в каждом конкретном случае.

На основе этих положений была составлена программа учебного моделирования по теме «Колебания». Универсальность математической модели колебательных процессов обеспечивает возможность применения программы для изучения как механических, так и электрических колебаний. Отмечаемое в психолого-педагогической литературе требование исходно задаваемой полноты предметного содержания изучаемого объекта и полной системы его возможных преобразований реализуется у нас выбором в качестве математической модели не готовых выражений для амплитуд, фаз, формул скорости и ускорения для различных условий колебательного движения, а заданием задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью:

для решения которой был выбран метод Рунге — Кутта. Воздействие на предметную среду осуществляется выбором коэффициентов Ь₀, г, к, Н_ь со, в результате чего можно получить практически все случаи поведения линейной колебательной системы, изучаемые в школе: свободные гармонические (г, Н₁ = 0), свободные затухающие (Н₁ = 0), вынужденные колебания (Я_г Ф 0), явление резонанса.

Результаты компьютерного эксперимента выводятся на экран дисплея в основном в виде графиков и диаграмм, а также чертежей, иллюстрирующих условия эксперимента, таблиц, в которых отражаются отношения между параметрами колебательной системы. Работая с программой, учащийся становится активным исследователем. Работа за терминалом персонального компьютера имитирует работу с физическим прибором, а оперативность и информационная полнота обеспечивают успешность достижения дидактической цели.

Опишем структуру и функциональное взаимодействие основных частей обучающей моделирующей программы.

Центральной частью программы является блок «Модель». Здесь реализована численная схема приближенного решения дифференциального уравнения.

Второй блок — «Управление» — служит задаче организации учебного эксперимента. Он может модифицироваться с изменением дидактической цели. В результате этого программа может обрести черты тренажера или контролирующего комплекса, сохраняя свою основную, моделирующую функцию. Блок «управление» пишется с учетом сценария проведения эксперимента. В программе предусмотрено несколько вариантов блока «управление».

Вспомогательные блоки несут сервисные функции. Это, например, графические программы, мобилизующие внимание; блоки, в которых предусмотрена подача звукового сигнала; блоки «мерцание», а также организация пауз и прерываний.

Возможности современных компьютеров позволяют представить графическую информацию в полиэкранном режиме, значительно усиливающем информационные эффекты эксперимента. Например, изучая гармонические свободные колебания в контуре, учащийся видит на экране синхронное появление графиков трех функций: q (t), J (t), Г(t), что позволяет подвергнуть сравнительному изучению амплитуды, фазы соответствующих функций. Одновременное и независимое использование средств графического и алфавитно-цифрового дисплеев дает возможность сопровождать графическую информацию поясняющим текстом и сводкой числовых результатов эксперимента.

Наконец, в отдельный блок выделена программа «Резонанс», предназначенная для экспериментального исследования данного явления. Программа выдает на дисплей резонансные кривые, соответствующие четырем значениям коэффициента сопротивления.

Работу программы в конкретной учебной ситуации мы продемонстрируем на нескольких фрагментах различного целевого назначения.

Фрагмент 1 — начальный — вхождение в программу. После запуска программы командой RUN на экране появляется название раздела, после чего пользователю предъявляется меню вариантов:

• 1) механическая колебательная система;
• 2) электродинамическая колебательная система.

Выбрав предметную среду нажатием клавиши 1 или 2, мы получаем детализированное меню с набором режимов и ситуаций, имеющих место в реальной колебательной системе. После того как режим выбран, происходит очищение экрана и на нем появляется схема выбранной нами колебательной системы (пружинный маятник, колебательный контур) с указанием всех управляющих параметров, которыми исследователь может воздействовать на систему.

Фрагмент 2 — свободные гармонические колебания в механической системе. Выбрав механическую систему и названный выше режим, мы можем организовать исследовательский, иллюстративный или репрезентативный учебный эксперимент. Здесь следует подчеркнуть, что машинный эксперимент не претендует на исключительное место универсального метода формирования понятия; его роль в каждом отдельном случае определяется педагогом, ставящим компьютерное моделирование в ряд с другими, не менее важными методами и средствами — физическим экспериментом, теоретическим исследованием и т. д. Например, в создании проблемной ситуации учитель может обратиться к реализации физического эксперимента, производственного или вообще жизненного опыта учащихся, а затем для разрешения учебной проблемы воспользоваться результатами машинного эксперимента. Однако не следует и умалять эвристическую ценность машинного обучения. Продемонстрируем ее при изучении гармонических колебаний. Один из возможных вариантов диалога ученика (У) и машины (М) представим в виде сценария:

• (М): введите начальное смещение из промежутка (0.0—0.5).
• (У): 0.01.
• (М): задайте начальную скорость из промежутка (0.0—0.07).
• (У): 0.0.
• (М): сейчас Вы увидите три графика: x (t), x'(t), x" (t).

Ответьте на вопросы.

• 1. Чем объясняется разность фаз у функций x (t) и x'(t)?
• 2. Почему x (t) и x" (t) находятся в противофазе?
• 3. Нажмите клавишу 7.
• (У): 7.
• (М): Сейчас Вы будете задавать иные начальные условия.

Исследуйте вопросы.

• 1. Как зависит начальная фаза от начальных условий?
• 2. Зависит ли амплитуда от начальных условий?
• 3. Зависит ли сдвиг фаз между x (t), x'(t), x" (t) от выбора начальных условий?
• 4. Что Вы можете сказать о частоте x (t), x'(t), x" (t)?

Видим: на этом отрезке программы машина генерирует учебные проблемы, дает материал для наблюдения, корректирует выводы.

Коррекция выводов, статистика ошибок, предъявление следующей порции упражнений осуществляются подпрограммой «Коррекция», входящей в блок «Управление».

Подпрограмма «Гармонические колебания» ставит также вопросы о зависимости частоты колебания от массы колеблющегося тела и жесткости пружины. Наиболее ценной нам представляется ситуация, когда ученик сам формулирует учебную проблему, проводит поиск закономерности, а затем проверяет свои выводы на практике. Адекватность машинного решения опытным данным укрепляет уверенность школьника в достоверности машинного моделирования, способствует формированию научного мировоззрения учащихся.

Учебную проблему не обязательно программировать в блоке «Коррекция». Ученик при желании может отказаться от блока «Управление» и испытывать программу в режиме физического прибора, задавая ей вопросы в произвольном порядке.

Фрагмент 3 — свободные колебания в электродинамической колебательной системе. Выбрав электродинамическую колебательную систему, школьник получает список начальных условий (г (0) и Н (0)) и параметров (С, L, R), управляя которыми, он может воздействовать на систему. Выбор режима «Свободные колебания» обусловливает равенство нулю коэффициента Н₁ — амплитуды вынужденных колебаний.

На основе изложенного в качестве примера рассмотрим методику изучения темы «Электромагнитные колебания», которая относится к числу обобщающих тем школьного курса физики. В качестве средств активизации мы используем демонстрационный физический (натурный) и численный эксперименты.

В первой теме «Свободные электромагнитные колебания в контуре» раскрывается содержание понятий «электрические колебания», «колебательный контур», «энергетические превращения в контуре», «свободные гармонические и затухающие колебания». Их изучение начинается с актуализации знаний о механических колебаниях: колебательное движение, основные типы колебаний, гармонические колебания, условия их протекания. Далее сообщается, что колебательные процессы могут протекать не только в механических, но и в электрических системах. В данном случае они называются электромагнитными колебаниями. Конкретным примером электрической системы является обычная электрическая цепь, о которой говорилось при изучении основ электродинамики. В любой электрической цепи выделяют источник и потребители энергии. В общем случае все потребители разделяются на активные, индуктивные и емкостные. Содержание, которое вкладывается в название элементов электрической цепи, учащимся уже известно. В последующих темах указанное содержание конкретизируется и дополняется.

Известно, что свободные механические колебания не могут существовать в любой динамической системе. В связи с этим возникает вопрос: относится ли сказанное к электрическим системам, т. е. в любой ли электрической цепи могут возникать свободные колебания? Дать однозначный ответ на вопрос учащиеся не могут — возникает проблемная ситуация. Имея знания об условиях протекания свободных колебаний в механических системах, они утверждают, что свободные электрические колебания могут существовать не в любой цепи. В таком случае возникает другой, трансформированный от первого, вопрос: какие потребители должна содержать электрическая цепь, чтобы в ней могли протекать свободные электромагнитные колебания? Именно данный вопрос составляет содержание учебной проблемы, которая решается на основе коллективного учебно-исследовательского эксперимента.

Сначала рассматривается случай: цепь содержит все два вида потребителей электрической энергии. На демонстрационном столе собирается цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора, реостата и гальванометра, который выполняет роль индикатора. Через однополюсной переключатель эта цепь может переключаться к источнику постоянного ЭДС. На основе двух-трех демонстраций учащиеся убеждаются в том, что в рассматриваемом случае свободные колебания не возникают. Здесь же выясняется роль конденсатора как элемента электрической цепи, в котором аккумулируется первоначальная энергия колебательной системы.

Далее внимание класса обращается на экран дисплея. Задав соответствующие параметры для рассматриваемой нами электрической цепи, учащиеся имеют возможность наблюдать график изменения тока в цепи с течением времени.

Сопоставляя результаты натурного и численного эксперимента, учащиеся делают вывод: в электрической цепи, содержащей конденсатор и активное сопротивление, колебание значений электрического тока не наблюдается. Следует сказать, что при изучении данной и последующих тем курса наряду с натурным физическим экспериментом будет использоваться машинный (численный) эксперимент, который будет подтверждать (иногда и дополнять) физический эксперимент. Все это будет способствовать более глубокому и всестороннему изучению физических явлений и законов.

На втором этапе демонстрация проводится в цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности. В этом случае стрелка гальванометра, прежде чем остановиться, совершает несколько колебаний около нулевого деления. Наиболее отчетливо колебательный характер разряда в данной схеме наблюдается на экране дисплея, поскольку в программу можно заложить очень маленькое (при необходимости — нулевое) значение активного сопротивления.

На основе анализа результатов экспериментов делается вывод: поскольку гальванометр позволяет фиксировать не только значение, но и направление тока, то колебание стрелки при разряде конденсатора через катушку индуктивности говорит о том, что значение и направление тока в цепи неоднократно меняются — колебания стрелки позволяют судить о колебаниях значения тока. Во всех рассмотренных случаях причиной направленного движения свободных зарядов является разность потенциалов между обкладками конденсатора. Следовательно, изменения направления тока означают неоднократные изменения направления электрического поля в цепи, т. е. повторяющиеся процессы перезарядки конденсатора. Иными словами, колебательный характер изменения тока наблюдается в цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности.

На следующем этапе ставится задача объяснения процессов в колебательном контуре. Прежде всего, дается ответ на вопрос: почему разряд конденсатора именно через катушку индуктивности носит колебательный характер? Возникает проблемная ситуация. На основе анализа последней формулируется учебная проблема: каким образом индуктивность влияет на протекание процесса разрядки конденсатора? В поисковой беседе устанавливаем: при замыкании заряженного конденсатора на катушку ток начинает увеличиваться, что ведет к изменению магнитного потока, пронизывающего витки катушки, и возникновению ЭДС самоиндукции. Однако направление возникшей дополнительной ЭДС имеет противоположное основному полю направление (правило Ленца), поэтому своего максимального значения ток достигает постепенно.

Вопрос классу: чему равен заряд на обкладке конденсатора в момент максимального тока в катушке? Ответ на поставленный вопрос дает машина. На экран дисплея выводятся графики изменения значений тока и заряда конденсатора с течением времени. Возможность одновременного сравнения графиков позволяет сделать вывод: в момент наибольшего тока в катушке значение заряда на конденсаторе равно нулю.

Затем снова проводим физический эксперимент. При этом обращаем внимание на вторую четверть периода, когда стрелка гальванометра, достигнув максимального отклонения, начинает возвращаться к нулю. Говорим, что в данном случае происходит изменение (уменьшение) значения тока при неизменном его направлении. В подтверждение сказанного на экран выводится часть графика в первой и во второй четверти периода. При этом процесс вычерчивания графика следует остановить, не доводя его до нулевого значения тока. Обращаем внимание на то, что значение тока убывает постепенно (это наблюдается и по движению стрелки, и на экране). Объяснение данному явлению дают учащиеся: поскольку ток, достигнув наибольшего значения, начинает уменьшаться, в катушке возникает ЭДС такого направления, что она будет некоторое время поддерживать уменьшающийся ток.

Вопрос классу: какие изменения происходят в конденсаторе в течение второй четверти периода?

Физический эксперимент не позволяет ответить на этот вопрос. Однако на экран можно вывести график изменения со временем значения заряда на конденсаторе. Параллельно на экране вычерчивается график изменения тока со временем и показывается, что в момент достижения нулевого значения тока заканчивается процесс перезарядки конденсатора.

Далее включается электрическая цепь и повторяется опыт. При этом обращается внимание учащихся на третью четверть периода, когда стрелка гальванометра, пройдя нуль, начинает отклоняться в другую сторону, указывая на изменение направления тока. После на экран выводится изменение значения тока в третьей четверти периода (до максимума модуля тока). Проводится сравнительный анализ процесса с первой четвертью периода и дается аналогичное объяснение. На этой основе продолжается наблюдение за процессом в конце третьей и полностью в четвертой части периода. Далее на экран выводится график заключительного этапа перезарядки конденсатора (до момента, когда значение тока на графике дойдет до нуля). Сравнивая графики на экране в конце четвертой части периода и в начале процесса, приходим к выводу, что в дальнейшем процесс повторится. Переход системы в исходное состояние означает завершение полного периода превращений в контуре.

На экран дисплея выводится график изменения тока со временем не по частям, а целиком за два-три периода.

Резюмируя результаты проведенных экспериментов, приходим к выводу: индуктивность при протекании процесса разрядки конденсатора не позволяет току мгновенно возрастать и убывать до экстремальных значений. Поэтому в цепи, содержащей заряженный конденсатор и индуктивность, возникают колебания значений электрического заряда, тока и других характеристик электрической цепи. Колебания в данном случае называются свободными.

На следующем этапе изучения темы раскрывается содержание тех понятий, которые используются для описания процессов в контуре.

При рассмотрении колебательного процесса с самого начала в качестве изменяющейся величины мы использовали ток, так как именно его значение показывал индикатор. Поскольку электрический ток представляет собой направленное движение свободных зарядов и показывает скорость изменения значения заряда, можно утверждать, что колебательный характер изменения значения тока в цепи вызывается соответствующим изменением свободного заряда на обкладках конденсатора (это утверждение в дальнейшем получает математическое подтверждение). Изменение заряда на обкладках конденсатора обусловлено изменяющейся со временем разностью потенциалов между обкладками конденсатора (q = UC). Кроме того, колебательный характер изменения значения тока в цепи ведет к соответствующему изменению индукции магнитного поля в катушке. Другими словами, при разряде конденсатора через катушку индуктивности колеблются значения как электрических, так и магнитных характеристик. Описанные изменения обусловлены соответствующими изменениями характеристик электрического и магнитного поля. На этой основе формулируются некоторые определения:

• 1) повторяющиеся изменения напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в электрических цепях называют электромагнитными колебаниями;
• 2) если электромагнитные колебания происходят за счет первоначального запаса энергии, сообщенного контуру, они называются свободными (собственными);
• 3) электрическая цепь, в которой возможны электромагнитные колебания, называется колебательным контуром. Основными элементами идеального колебательного контура, как было установлено на опыте, являются конденсатор и катушка индуктивности.

После описанного выше качественного рассмотрения процессов в колебательном контуре ставится и решается задача установления количественных закономерностей протекания процессов. С этой целью сначала анализируются энергетические превращения в контуре.

Если в начальный момент времени колебательному контуру энергия сообщена в виде энергии электрического поля, то ее значение равно.

Поскольку значение тока достигает максимума в момент, когда свободный заряд конденсатора равен нулю, то энергия контура в этот момент:

Для произвольного момента времени.

где q и г — мгновенные значения заряда и тока.

Учитывая, что левая часть равенства (4.4) с течением времени не изменяется, можно сказать: данное равенство представляет собой математическую запись закона сохранения и превращения энергии для колебательного контура.

Формула (4.4) является исходной для получения уравнения, описывающего процессы в колебательном контуре. Для этого продифференцируем его по времени и учтем, что производная от постоянной величины равна нулю:

или.

Учащимся объясняется физический смысл полученного равенства: скорость изменения энергии магнитного поля в колебательном контуре равна по значению и противоположна по направлению скорости изменения энергии электрического поля. Таким образом, в колебательном контуре энергия потенциального электрического поля периодически переходит в энергию вихревого магнитного поля и наоборот.

Вычисляя производные от обеих частей последнего равенства и учитывая, что i = q' и Т = q" , получим:

Это дифференциальное уравнение, описывающее процессы в идеальном колебательном контуре. Из него следует: скорость изменения тока в контуре пропорциональна взятому с обратным знаком заряду конденсатора в данный момент.

Используя знания учащихся из теории механических колебаний, делаем вывод: в колебательном контуре значение заряда с течением времени изменяется по гармоническому закону:

Поскольку величины L и С — параметры колебательной системы, то можно ввести обозначение (Oq = 1/LC и переписать уравнение в виде

Поскольку в нашей системе изменение тока связано с изменением заряда на конденсаторе, то, учитывая зависимость между этими величинами, получим.

где i — мгновенное значение тока.

Протекание процессов в контуре связано не только со скоростью изменения заряда — током, но и со скоростью изменения значения самого тока:

Приходим к выводу: изменение значений физических величин в колебательном контуре происходит по гармоническому закону. Обращаем внимание учащихся на экран дисплея: машина вычерчивает графики q (t), i (t), i'(t) с имеющимися между ними сдвигами фаз. В данном случае ЭВМ выдает в динамике на одном экране графики процессов, происходящих в контуре, и служит тем самым обычным средством наглядности полученных на уроке закономерностей.

На следующем этапе переходим к сравнительному анализу свободных механических и электромагнитных колебаний.

Вспоминаем, что свободные механические колебания происходят по гармоническому закону при отсутствии силы трения. Следовательно, электрическая цепь, состоящая только из конденсатора и катушки индуктивности, аналогична математическому и пружинному маятникам в том смысле, что изменение величин, характеризующих колебательную систему в каждом случае, подчиняется одинаковым количественным законам. Поскольку математический и пружинный маятники — идеальные объекты, то электрическую цепь, состоящую только из конденсатора и катушки индуктивности, можно назвать идеальным колебательным контуром. В такой системе отсутствует активное сопротивление. Сравнивая временную развертку процессов, получаемых с помощью ЭВМ, с колебаниями стрелки гальванометра, включенного в цепь колебательного контура, делаем вывод: в реальном контуре гармоничность процессов не наблюдается, что связано с отсутствием возможности устранить активное сопротивление в контуре. Учащиеся подводятся к обоснованию преимуществ численного эксперимента по сравнению с натурным физическим.

Следует сразу же оговорить, что ЭВМ не является устройством, которое может воспроизводить только идеальные случаи протекания физических процессов. Напротив, численный эксперимент дает возможность «заглянуть» и выявить такие закономерности протекания процессов, которые в натурном физическом эксперименте часто выявить невозможно. Иными словами, с помощью ЭВМ можно «ставить» любой физический эксперимент и на экране дисплея наблюдать его результаты.

Выпускники средней школы должны иметь четкую систему обобщенных знаний по всем разделам физики, в том числе по теории колебаний. Однако программы по предмету не всегда нацеливают учителя на решение этой важнейшей задачи. Существующие программы не предусматривают изучение такого нужного, на наш взгляд, вопроса, как «Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями», который кроме методологического имеет эвристическое и методическое значение.

В чем конкретно нам видится проблема?

Во-первых, учитывая уровень математической подготовки учащихся, программа предусматривает изучение механических колебаний на качественном уровне (это относится и к кинематике, и к динамике процессов). Как следствие, не дается гармонический закон изменения скорости и ускорения со временем, а значит, не говорится и о сдвиге фаз между соответствующими кинематическими величинами. Однако аналогичные вопросы применительно к электромагнитным колебаниям изучаются довольно подробно. Все это никак не способствует выработке у учащихся убеждений о единстве окружающего мира.

Исходя из изложенного, можно предложить следующую методику раскрытия названных выше вопросов.

Опираясь на физический эксперимент по изучению колебаний нитяного и пружинного маятников, в машину поочередно вводим параметры для математического и пружинного маятников. Для каждой колебательной системы на экране дисплея наблюдаем по три графика: смещения, скорости и ускорения. Сравнивая результаты опытов, приходим к выводу: при колебаниях математического и пружинного маятников по гармоническому закону меняются не только смещения, но и скорости и ускорения с соответствующими сдвигами фаз.

Затем аналогичные эксперименты проводим с колебательным контуром. На основании сравнения полученных результатов делаем обобщающий вывод: колебания в механических и электромагнитных системах подчиняются одинаковым количественным закономерностям. Важно только, чтобы системы находились в аналогичных условиях. Под термином «аналогичные условия» в данном случае имеется в виду следующее: в механических и электромагнитных системах колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии самой системы и силы сопротивления в системах отсутствуют. Если названные условия соблюдены, то из выражения «что колеблется и как колеблется» можно снять первую и оставить только вторую часть. Иными словами, на основе изучения процессов в механических колебательных системах появляется возможность обобщать результаты на электромагнитные системы и наоборот. В этом суть эвристического и методического значения сформулированного вывода. Изложенным подходом мы пользуемся при изучении не только свободных гармонических, но и других типов колебаний.

После сравнения процессов в различных колебательных системах возникает вопрос: почему колебания в идеализированных механических и электромагнитных колебательных системах подчиняются гармоническому закону несмотря на то, что между ними имеется глубокое физическое различие?

В поисковой беседе с учащимися устанавливаем, что сила, возвращающая маятник к положению равновесия, есть тангенциальная составляющая силы тяжести; в случае пружинного маятника возвращающей силой является упругая сила деформированной пружины; в колебательном контуре роль возвращающей силы играет разность потенциалов между обкладками конденсатора. Сходство между указанными величинами состоит в том (и только в том), что каждая из них пропорциональна отклонению системы от положения равновесия. Для колебательного контура состоянию равновесия соответствует отсутствие свободного заряда на обкладках конденсатора и, следовательно, в данном случае «возвращающая сила» пропорциональна заряду на обкладках конденсатора.

Проводя аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями, следует указать учащимся на то, что сами гармонические функции синус и косинус характеризуются частотой. Частота для каждой колебательной системы определяется параметрами данной системы. В подтверждение сказанного записываем формулы для циклических частот колебаний математического, пружинного маятников и колебательного контура:

Как следует из записанных формул, величина g для математического является аналогом жесткости к пружинного маятника, а в колебательном контуре им соответствует величина, обратная емкости 1/С. Аналогом массы т пружинного маятника в математическом маятнике является его длина /, а в колебательном контуре — индуктивность L. Именно индуктивность катушки влияет на любые изменения заряда в контуре. Благодаря индуктивности система «перескакивает» положение равновесия. Сами физические величины: к, g, 1/С; т, I, L — совершенно различны по своей физической природе.

Проведение описанной аналогии позволяет учащимся получить формулу для периода собственных колебаний в колебательном контуре. Записывается формула связи между периодом и циклической частотой колебаний. Подставив в эту формулу значение циклической частоты, выраженное через параметры колебательного контура, получим формулу Томсона:

Заключительным этапом сравнения колебательных процессов в механических и электромагнитных колебательных системах является таблица, которая выводится на экран дисплея (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Обобщающая таблица для демонстрации аналогии между величинами, характеризующими различные колебательные системы.

Описанный вариант методики изучения электромагнитных колебаний показывает, что использование современных ЭВМ в преподавании физики позволяет эффективнее организовать процесс учебного познания школьников на высоком уровне проблемности.