Определение сильной дизъюнкции

Сильной дизъюнкцией формул ф и (р называется формула {ф * (р), которая истинна тогда, когда-либо формула 0 истинна и формула (р ложна, либо формула 0Ложна и формула (р истинна, и которая ложна во всех остальных случаях.

Таблица истинности сильной дизъюнкции двух произвольных формул фи (р имеет следующий вид:

Дизъюнкты формулы (0 * (р) часто называют альтернативами, имея в виду, что один и только один дизъюнкт истинный или что логическая сумма альтернатив образует полное множество.

Сильная дизъюнкция представляет собой логическое отрицание эквивалентности. В отличие от слабой она запрещает одновременную истинность всех или некоторых дизъюнктов, кроме одного, а также запрещает их одновременную ложность. В естественном языке сильная дизъюнкция чаще всего выражается словами «либо… либо». Из всех возможных альтернатив «Либо сегодня понедельник, либо вторник… либо воскресенье» истинна только одна, а все остальные ложны. При этом не могут быть истинными все вместе указанные альтернативы или только некоторые из них, за исключением какой-либо одной. Также невозможно, чтобы перечисленные альтернативы все были ложными, одна из них обязательно должна быть истинной.

Из сказанного ясно, что формула (ф * (р), где ф = 5 > 2 — истинное простое высказыввание и (р — 3 > 4 — ложное простое высказывание, обозначает истинное сложное высказывание. С помощью таблиц истинности логических союзов можно вычислять значение истинности сложных высказываний. Допустим, дана формулаi(А & -i (B э С)), значения истинности атомарных формул которой неизвестны. Предположим, А — «Ничто не зависит от нас», В = «Тот, кто много работает», С — «Никто ничего не добивается». Перевод формулы на естественный язык порождает сложное высказывание: «Неверно, что ничто не зависит от нас, и ложно, что тот, кто много работает, ничего не добивается».

По допущению нам неизвестны значения истинности простых высказываний. В этом случае строят таблицу истинности исследуемой формулы. Такая таблица ничем не отличается от используемых для установления истинности логических союзов. Она представляет функцию истинности от всех своих атомарных подформул.

Таблица истинности формулы ->(Л & -.(В э Q) имеет следующий вид:

Объяснение. В исследуемой формуле имеется три простых высказывания — А, В и С. Значит, существует 2³ = 8 возможных интерпретаций (строк) их значений истинности. Первые три столбца (три аргумента функции) символизируют данные возможности. Например, первая строка таблицы означает, что все три высказывания вместе истинны; восьмая строка — что они все вместе ложны.

Столбцы с четвертого по пятый указывают порядок и результат вычисления значения истинности подформулы, управляемой определенным логическим союзом. Каждый столбец размещается подтем логическим союзом, в область действия которого входит анализируемая подформула. Например, столбец (4) содержит значение истинности подформулы (В з С); столбец (5) — значение истинности подформулыI(В з С); столбец (6) — значение истинности подформулы (Л & -п (В з С)); заключительный столбец (7) — значение истинности всей формулы -1 (Л & -1 (В з С)). Интерпретация данной формулы завершена. Каковы ее итоги?

Правильно построенная таблица истинности должна содержать все возможные интерпретации истинности и ложности рассматриваемой формулы. Анализ таблицы показывает, что исследуемая формула ложна только в той интерпретации, которую указывает вторая строка — атомарные формулы Л, В истинны, атомарная формула С ложна. Во всех остальных интерпретациях указанная сложная формула истинна. Самую интересную интерпретацию представляет восьмая строка: все три атомарные формулы ложны, но формула в целом, тем не менее, истинна. Поскольку других интерпретаций нет и быть не может, мы получаем исчерпывающую информацию о логических свойствах исследуемой формулы.