Методика расчета предельных скоростей нагрева, ожаждения и времени выдержки абразивных заготовок

Теоретические основы расчета допустимых скоростей изменения температуры при обжиге абразивных кругов, устанавливаемых высокими колонками, разработаны В. Г. Воано [87]. При расчете распределения температуры и напряжений в круге при обжиге колонка кругов рассматривалась как бесконечный полый цилиндр.

Существующая методика расчета предельных скоростей нагрева и охлаждения, времени выдержки абразивных изделий является результатом большого количества работ, выполненных лабораторией термической обработки ВНИИАШ и используется в повседневной практике до настоящего времени (Н.П. Згонник, Ш. Н. Плят, Г. Н. Стародубова, А. К. Ефремов, В. А. Агалаков и др.) [188−191].

Теоретические предпосылки и необходимые для расчетов теплофизические коэффициенты абразивно-керамических черепков, изменяющиеся в процессе обжига, а также коэффициенты теплообмена в туннельных печах подробно изложены в [192—2061.

В методике расчета приводятся обобщенные уравнения для приближенного вычисления предельных скоростей нагрева и охлаждения и распределения температур в стопке абразивных кругов при выдержке в условиях всестороннего обогрева и при отсутствии теплообмена на внутренней цилиндрической поверхности кругов [191).

Как известно, при обжиге абразивных изделий при низких температурах в период нагрева (в зависимости от состава связки до 600 °С) и охлаждения (ниже 600 °С) черепок представляет собой хрупкое твердое тело, единственным фактором, по которому можно определить допустимую скорость нагревания или охлаждения, являются температурные напряжения, вызванные изменением температур.

При достижении предельной скорости изменения температуры, когда температурные напряжения по величине оказываются равными пределу прочности черепка, в кругах возникают трещины и разрывы по диаметру. Так как при расчете предельных скоростей изменения температуры учитывается среднее значение предела прочности черепка, а в условиях производства по причине недостаточно однородного смешивания и укладки смеси в пресс-формы локальная прочность черепка может оказаться значительно ниже средней, то во избежание появления брака в виде трещины допустимые скорости изменения температур в указанные периоды должны быть, по крайней мере, в два раза меньше предельных.

При повышении температуры обжига наиболее легкоплавкие компоненты связки расплавляются, количество жидкой фазы постепенно нарастает и черепок переходит в пластичное состояние, при котором скорость изменения температуры как при нагревании, так и при охлаждении не лимитируется, поскольку возникающие напряжения релаксируются (при условии, что рецептура изделий и способ их установки в обжиг выбраны и осуществлены правильно и они не подвержены деформации под собственным весом или весом вышележащих изделий).

Для получения кругов, возможно более однородных по физико-механическим свойствам, необходимо обеспечить их равномерный прогрев при максимальной температуре обжига. Для этого практически оказывается достаточным, чтобы температурный перепад между ведущими и отстающими точками круга⁴ не превышал 10 °C. При разработке рационального режима обжига кругов важным является определение минимального времени их выдержки при конечной температуре обжига, обеспечивающего однородность температурного поля, особенно в изделиях средних и крупных размеров и тем более установленных в колонки по несколько штук.

Интенсивное охлаждение изделий при высоких температурах, когда черепок еще находится в пластичном состоянии, не только возможно, но и желательно, так как это предотвращает кристаллизацию связки и повышает прочность инструмента при определенных составах связок [46].

Следующий период охлаждения — период перехода черепка из вязкого состояния в хрупкое — является наиболее опасным: наличие градиента температур и неодновременность отвердения черепка по всему объему изделия при последующем выравнивании в нем температурного поля создают напряжения и вызывают рваные трещины в еще пластичной части круга.

Если же выравнивание температуры в изделии происходит при полном переходе черепка в хрупкое состояние, то в зависимости от величины напряжений круг разрывается на части или остается в напряженном (в большей или меньшей степени) состоянии под действием остающихся напряжений. Для установления допустимой скорости охлаждения вычисленные предельные скорости следует уменьшить в четыре-пять раз.

В завершающий период охлаждения скорости лимитируются временными температурными напряжениями в хрупком теле круга, исчезающими при выравнивании температурного поля в объеме круга. При охлаждении изделий с постоянным градиентом температур, образовавшимся еще при переходе тела в хрупкое состояние (при постоянстве коэффициентов линейного расширения материала), напряжения в них отсутствуют. Следовательно, скорость охлаждения в последний период может быть заметно увеличена.^[1]

Из сказанного следует, что при разработке рационального режима термической обработки предельные скорости нагрева и охлаждения кругов необходимо вычислять главным образом для периодов хрупкого состояния черепка и перехода его из вязкого состояния в хрупкое. Для крупногабаритных изделий, особенно установленных в стопки, должно быть определено и минимальное время их выдержки при максимальных температурах обжига, обеспечивающее заданную степень однородности их прогрева.

Ниже приводится пример расчета для кругов, установленных в стопку высотой 50, 100, 200 и 400 мм и твердостью СМ2-СТ2. Для проведения расчетов введем обозначения и расчетные формулы, предложенные авторами [37, 41, 57].

Принятые обозначения и расчетные формулы: /— температура, °С; /₀ — начальная температура тела, °С; /_с — температура среды, °С; т — время, ч; г — радиус, м; r_min — радиус расположения точки с минимальной температурой, м; /?, и R₂ — внутренний и внешний радиусы полого цилиндра, м; z— координата по высоте цилиндра, м; 2Ь— полная высота цилиндра, м:

а, — коэффициент линейного расширения, °С^-1; Е— модуль упругости, МПа; о_с^и — предел прочности черепка на изгиб, МПа; А, — коэффициент теплопроводности, ккал/(мчград); С_р— удельная теплоемкость, ккалДкгтрад);

X

Ь— объемный вес, кг/см³; а = тгт — коэффициент температуропроводности,.

С_рЬ

м²/ч; а — коэффициент теплоотдачи, ккал/(м² ч град); а, и а₂ — коэффициенты теплоотдачи на внутренней и внешней цилиндрических поверхностях, ккал/(м² ч град); Bi, =; Bi₂ = °'²^² — критерии Био для цилиндра;

А, X.

Bi_n" —-критерий Био для пластины; Fo. = Fo? = — критерии Фу;

X R² R²

рье для цилиндра; Fo^ = -=? — критерий Фурье для пластины; с — скорость из;

b¹

менсния температуры, °С/ч; /₀(лс), У₀(х) — функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода; /,(*), У[(х) — функции Бесселя первого порядка первого и второго рода; И = — — относительный коэффициент теплоотдачи, 1/м; Л, = ^а* — X А, относительный коэффициент теплоотдачи на внутренней поверхности полого цилиндра, 1/м; и₂-— — относительный коэффициент теплоотдачи на внеш;

А.

ней поверхности полого цилиндра, 1/м; hJh,= у;

(где А — корень разложения для полого цилиндра);

(где ц_я — корень характеристического уравнения для полого цилиндра);

(где у — корень характеристического уравнения для пластины);

(где В — коэффициент разложения для пластины);

(где v_rt — корень уравнения);

При всестороннем обогреве предельные скорости с_п изменения температуры при нагреве в интервале 20−600 °С и при охлаждении в интервале 900- 600 °C вычисляются по формуле.

при охлаждении в интервале 600—20 °С.

Для охлаждения в интервале 900−600 °С рекомендуется при расчетах допустимых скоростей принимать коэффициент п равным 0,20−0,25.

Когда теплообмен между внутренней цилиндрической поверхностью круга и внешней средой отсутствует, предельные скорости изменения температуры при нагреве в интервале 20−600 °С и при охлаждении в интервале 900— 600 °C определяются по формуле.

при охлаждении в интервале 600−20 °С.

При всестороннем обогреве расчет распределения температуры в колонке кругов ведется по формулам, справедливым при достаточной длительности процесса т:

а) при /; > 2R-, (высокая колонка), как в неограниченном полом цилиндре.

б) при И = 2Ь < 2/?" как в конечном полом цилиндре,.

Наибольший интерес представляет вычисление температуры на внешней (ведущая точка г = R₂) и внутренней (г = /?,) цилиндрической поверхности и поверхности минимальных температур (отстающая точка г = г .).

Положение поверхности минимальных температур r_min приближенно (с точностью до 1−2 мм) можно вычислить по формуле.

При таком обогреве, когда теплообмен между внешней средой и внутренней цилиндрической поверхностью колонки отсутствует, расчет распределения температуры ведут по формуле.

Изменение первых двух корней р, и р₂ характеристического уравнения для полого цилиндра, коэффициенты разложения А_] и А-, и значения функций.

р .

?/₀(Аф,), U₀(Ki₂) и (/₀Pi —^шш— для различных Bi в зависимости от отношения.

К = — приведены на рис. 3.46−3.48.

^R

Первые два корня Х_т и коэффициенты В_т для неограниченной пластины взяты из книги А. В. Лыкова и Ю. А. Михайлова [19]. В формулах (3.12)—(3.14).

выражение —¹— = о₀ характеризует термическую стойкость материала, а ос;

а, Е

тальные члены уравнения отражают геометрические параметры изделий и условия теплообмена. В табл. 3.27 приведены средние значения теплофизических и термомеханических параметров черепков различных характеристик в интервазе 20—600 °С при их обжиге и охлаждении и рассчитанные значения о₀. Термическая стойкость черепка в значительной степени зависит от его твердости (рис. 3.49): при средней твердости — самая высокая, с повышением твердости до Т2 — снижается.

Рис. 3.46. Зависимостей корней р_/г (уравнение 3.6) для различных критериев Bi от К = R₂/R_x

Рис. 3.47. Зависимость коэффициентов разложения А_п для различных критериев Bi от Л: = R₂/R_x

Рис. 3.48. Зависимость функций ?/₀(?ц,), и_о(кц₂) и ^о|й|-^г| для различных критериев Bi от К = -1.

Рис. 3.49. Термическая стойкость абразивно-керамических черепков:

/. J. 7— при обжиге; 2, 4, 5, б, 8— при охлаждении;

I и 2- 24А40; 3 и 4- 14А40; 5- 25А16; б- I4AI6;

7 и 8- 64С40.

Теплофизические и термомеханические характеристики абразивно-керамического черепка при обжиге и охлаждении в интервале 20−600 °С.

Термическая стойкость черепка электрокорунда белого несколько выше, чем черепка электрокорунда нормального; термическая стойкость черепка карбида кремния в результате обжига возрастает в 2—2,5 раза. Коэффициент теплоотдачи а. в туннельных пламенных печах для температурного интервала 20−600 °С равен 30, для 600−900 °С — 45 и для интервала 900−1280 °С— 60 ккал/(м³чград).

Расчет предельных скоростей нагрева и охлаждения и времени выдержки покажем на примерах.

Пример I. Расчет предельных скоростей нагрева и охлаждения при всестороннем теплообмене.

Круг 1 1100×150×305 24А40 CTI шестой структуры установлен на огнеупорную плиту толщиной 50 мм.

1. Нагрев от 20 до 600 °C.

Используя приведенные выше графики и таблицу, находим численные значения основных величин и критериев: /?, = 0,150 м; R-, = 0,550 м; b = 0,100 м.

(с учетом толщины подкладной плиты 0,050 м); К = /?₂//?, = 3,667; е =-^ =.

. o.R,

= 1,5; а = 30 ккал/(м² ч град); X = 1,19 ккал/(м² ч град); Bi, = ⁼ 3,781; Bi₂ =.

= ^= 13,865; Bi_a, = у = 2,521;ц, =0,9573; у, = 1,1370; cosy, = 1 (при^ = 0);

Л, = 2,4797; В, = 1,1949; t/₀(tfp,) = 0,107; р? + e²yf = 3,8252; ?/₀Гц, j =.

= 0,477; (7= 9,1175 |по формуле (3.11)].

Подставляя найденные значения в формулу (3.12), находим предельную скорость нагрева:

2. Охлаждение от 900 до 600 °C.

Для интервала температур 900−600 °С термомеханические и теплофизические характеристики принимаем такие же, что и для интервала 600−20 °С:

/?, = 0,150 м; R₂ = 0,550 м; Ь = 0,100 м; К = 3,667; е = 1,5; а = 45 ккал/.

/(м² ч град); X = 1,79 ккал/(м-ч-град); Bi, = = 3,771; Bi₂ = = 13,8268;

В1_ш = у = 2,514; р, = 0,9608; у, = 1,1363; А, = 2,5581; В, = 1,1947; t/₀(Xp,) = = 0,1091; cosy, = 0,4209; U₀ L, ^r™" 1 = 0,4796; pf+e²K²= 3,8283; C = 9,1498.

j

Подставляя найденные значения в формулу (3.12), находим скорость охлаждения в указанном выше интервале:

Если принять п = 0,25, то допустимая скорость охлаждения при упругопластическом состоянии черепка будет такой:

3. Всестороннее охлаждение от 600 до 20 °C.

Здесь /?, = 0,150 м; R₂ = 0,550 м; b = 0,100 м; К = 3,667; е = 1,5; у = = 1,79 ккалДм-Ч'град); а = 30 ккал/(м² ч град); Bi^ = -^ = 1,676; Bi, = =

clR.

= 2,514; ВЦ = = 9,2179; ц, = 0,8765; у. = 1.0067; А. = 2,1667; В, = 1,1592;

Л.

U₀(Kv,) = 0,1611; cosy, = 0,5346; = 0,5606; p²+e²y? = 3,0483;

G = 8,9495.

Подставляя значения этих параметров в формулу (3.11), получим.

Пример II. Расчет времени выдержки.

Допустим, что круг 1 1100×150×305 24А40 СТ1 шестой структуры после всестороннего нагрева со скоростью 100 °С/ч выдерживается в среде при температуре 1280 °C. Необходимо произвести расчет времени выдержки и определить температуру в характерных точках круга после выдержки 7 ч.

Во время выдержки происходит переход от линейно изменяющейся температуры к постоянной температуре среды. При достаточной длительности процесса т расчет распределения температуры в круге ведется по формулам (3.17) и (3.18). При длительности процесса более 2 ч можно использовать в основном значения первых двух корней р, и у, и коэффициентов Л, и В_г пренебрегая членами ряда, содержащими корни и коэффициенты с более высокими индексами.

При расчете времени выдержки берутся средние для интервалов 20—600 °С (нагрев) и 900−20 °С (охлаждение) значения X и а.

Численные значения параметров: /?, = 0,150 м; R₂ = 0,550 м; b = 0,100 м; е = R/b = 1,5; К = R₂/R — 3,667; X = 1,49 ккалДм ч град); С_р = 0,288 ккал/ /(кг* град) (вычислено, но удельной теплоемкости компонентов); 5 = 2334 кг/м³ (из рецептуры); а = /С_рЪ = 2,20* 10^-3 м²/ч; а = 60 ккал/(м²-ч-град) 1193, 194|; Bi, = aR_x/X = 6,04; Bi_ra = ab/X = 4,027.

Корни и коэффициенты разложения: р, = 1,0204; у, = 1,2659; Л, = 2,9296; /?,=.

= 1,2290; ?/₀(Ай,) = 0,065; cosy, = 0,3002; Цц, ^|= 0,4082; МГ +"²>'² = 4,6468;

1. Расчет распределения температуры в колонке кругов неограниченной высоты ведется по формуле (3.17). В ведущей точке (г = R₂) внешней цилиндрической поверхности температура.

Температура в отстающей точке поверхности минимальных температур г = r_min (отстающая точка).

Разность температур в ведущей и отстающей точках такова:

2. Расчет распределения температуры в конечном полом цилиндре (колонка высотой в один круг) ведется по формуле (3.18). Если ведущая точка г = Л₂, Z= Ь, то.

Разность температур в ведущей и отстающей точках такова:

Расчет показал, что выдержка продолжительностью 7 ч достаточна для удовлетворительного прогрева такого круга. Следует указать, что такая выдержка найдена уже после предварительных расчетов, произведенных при т = 5 и 6 ч. Выдержка в течение 5 и 6 ч оказалась недостаточной.

Пример III. Расчет предельных скоростей нагрева и охлаждения для случая, когда теплообмен на внутренней цилиндрической поверхности отсутствует. Данный расчет произведем для круга 1 250×250×75 24А40 СМ2 шестой структуры.

1. Нагрев в интервале 20−600 °С.

При этом /?, = 0,0375 м; R₂ ⁼ 0,125 м; т = /?,//?, — 0,3; b = 0,125 м; е = R₂/b = = 1,0; о. = 30 ккал/(м² ч град); X = 1,06 ккалДмчград); Bi-, = o.R->/X = 3,538; ^В1пл ⁼ <**А ^{= 3}>⁵³⁸' ^vi ^{= 2}>⁰⁴' 7, = 1,2313; V₀(v_{) = 0,3991; В~ = 1,2201; K,(v,) =.

= 0,6871; v²+e²y? = 5,6777; = 1,2614 по формуле (3.14).

Найденные значения величин подставляют в формулу (3.12):

2. Охлаждение в интервале 900−600 °С.

При этом /?, = 0,0075 м; R₂ = 0,125 м; b = 0,125 м; т = R_x/R₂ = 0,3; г = R₂/b = = 1; X = 1,58 ккал/(м²чтрад); а = 45 ккал/(м² ч град); Bi₂ = aR₂/X = 3,56; Bi^ = = ab/X = 3,56; v, = 2,05; у, = 1,2329; K₀(v,) = 0,3918; B_x = 1,2206; K,(v,) =.

= 0,6845; v,² +e²y? = 5,7225; = 1,2705 (определено по формуле (3.14)).

Расчет ведем по формуле (3.12):

3. Охлаждение в интервале 600−20 °С.

При этом /?, = 0,0375 м; R₂ = 0,125 м; т = R_l/R₂ = 0,3; b = 0,125 м; е = R₂/b = = 1,0; о. = 30 ккал/(м² ч град); X = 1,58 ккалДм ч град); Bi₂ = o.R₂/X = 2,373; Bi_ai = ab/X = 2,373; v, = 1,83; у, = 1,1200; K₀(v,) = 0,5664; B_{ = 1,1903; ^(v,) =.

= 0,7367; v,² + e²yj = 4,6033; d = 1,0843 [получено по формуле (3.14)].

Расчет скорости охлаждения в этом интервале ведем по формуле (3.13):

Пример IV. Расчет времени выдержки для случая, когда теплообмен на внутренней цилиндрической поверхности отсутствует.

Допустим, что колонка кругов 1 250 х И х 75 25А40 СМ2 шестой структуры, обшей высотой 250 мм после нагрева в среде, изменяющей свою температуру по закону ломаной линии со скоростью с, = 100 °С/ч, с₂ = 40 °С/ч, с₃ = 0 (на выдержке), находится на выдержке в среде с температурой 1280 °C. Нужно определить температуру в характерных точках после трехчасовой выдержки.

При этом R_{ = 0,0375 м; R₂ = 0,125 м; т = R_l/R₂ = 0,3; b = 0,125 м; е = R-,/b = = 1; X = 1,32 ккалДм ч град); а = 60 ккал/(м² чтрад); Bi₂ = aR₂/X = 5,682; а = = 2,00−10″³ м²/ч; Bi_{|U (} = ab/X = 5,682; v, = 2,27; у, = 1,3382.

Для ведущей точки К₀(у,) = 0,2480; В_{ = 1,2454.

Для отстающей точки F₀(/wv,) = 2/л/wv, = 0,9353; v² +e²v, = 6,9437; Pj (v,) = = 0,6276; d = 1,4678 по формуле (3.20); т₂ = 3 ч; т₃ = т — (т, + т₂) = 3 ч; (т — т,) = = т₂ + т₃ = 6 ч. Значения с, с₂, с₃ и т, т₂, т₃ приняты условно.

Путем подбора различного времени выдержки т₃ определяется достаточное время для достижения равномерного распределения температуры в круге:

Для конечного цилиндра расчет ведем по формуле (3.20).

В ведущей точке при т = 3 ч температура.

в отстающей точке.

Разность температур в ведущей и отстающей точках такова:

Рассчитанные скорости нагрева, охлаждения и время выдержки (в часах) для кругов, установленных в стопки разной высоты b, приведены в табл. 3.28. Для установления запаса прочности необходимо принимать запас прочности при температуре 20−600 °С минимум двукратный, а в интервале 900−600 °С — четырехкратный.

Для получения черепка с максимальной прочностью и стабильной твердостью при обжиге электрокорундовых инструментов выдержка должна составлять не менее 4 ч, а при обжиге инструментов из карбида кремния во избежание появления «черных пятен» на нем она должна быть не менее 5—6 ч [198). Это следует учитывать при установлении рационального режима термической обработки указанных изделий.

• [1] Под ведущей точкой круга понимают ту часть круга, которая первой вошлав соответствующую температурную зону обжига.