Теорема Тихонова. 
Теория вероятностей и математическая статистика. 
Математические модели

Математически строгое обоснование применения метода КСК (редукции системы в соответствии с иерархией времен) и формулировка условий его применимости дана в работе крупнейшего российского математика А. Н. Тихонова (А. Н. Тихонов, 1952].

Рассмотрим простейший случай двух дифференциальных уравнений

Рис. 5.14. Фазовый портрет вырожденной системы (5.28) (Р — точка пересечения главных изоклин).

Пусть у — медленная, ах — быстрая переменная. Это означает, что отношение приращений, А у и Д. г за короткий промежуток времени At много меньше единицы:

Скорость изменения х значительно превосходит скорость изменения у, поэтому правую часть первого уравнения можно записать в виде

Первое уравнение системы представим в виде.

Разделив левую и правую части уравнения на Л и обозначив е = 1 /А, получим полную систему уравнений, тождественную исходной:

где? <�§ С 1 — малый параметр.

Если характер решения не изменится при устремлении малого параметра е к нулю (условия этого обстоятельства и составляют содержание теоремы Тихонова), можно устремить е к нулю и получить для быстрой переменной х вместо дифференциального уравнения — алгебраическое:

В отличие от полной системы (5.27) такая система называется вырожденной (ее фазовый портрет представлен на рис. 5.14).

Фазовые траектории в любой точке фазовой плоскости, за исключением е-окрестности кривой F (x, y) = 0, имеют наклон, определяемый уравнением: порядка величины Е<1,т.е. расположены почти горизонтально. Это области быстрых движений, при которых вдоль фазовой траектории у = — const, а х быстро меняется. Достигнув по одной из таких горизонталей е-окрестности кривой F (x, у) = 0, изображающая точка потом будет двигаться по этой кривой.

Скорость движения по горизонтальным участкам траектории dx/dt «1/е = А, т. е. очень велика по сравнению со скоростью движения в окрестности кривой F (x, y) = 0. Поэтому общее время достижения некоего состояния на кривой F (x, у) определяется лишь характером движения вдоль этой кривой, т. е. зависит лишь от начальных значений медленной переменной у и не зависит от начальных значений быстрой переменной х.

Отметим, что квазистационарные значения быстрых переменных являются функциями не окончательных стационарных значений медленных переменных, а лишь их мгновенных значений. В этом смысле говорят о том, что быстрая переменная «подчинена» медленной.

Теорема Тихонова устанавливает условия возможности редукции системы дифференциальных уравнений с малым параметром (условия замены для быстрых переменных дифференциальных уравнений алгебраическими).

Запишем систему N уравнений, часть из которых содержит малый параметр г перед производной:

Назовем систему (5.29) присоединенной, а систему (5.30) — вырожденной.

Решение полной системы (5.29), (5.30) стремится к решению вырожденной системы (5.30) при г —> 0, если выполняются следующие условия:

• а) решение полной и присоединенной системы единственно, а правые части непрерывны;
• б) решение x=(fi (xi, X2,? ? ? ,?jv), …, x_r =

  r (a;i, X2, … , х^) представляет собой изолированный корень алгебраической системы.

• (в окрестности этого корня нет других корней);
• в) решение xi, X2, ?? ?, х_г — устойчивая изолированная особая точка присоединенной системы (5.29) при всех значениях

Xr+, Xr+2i •? •: Xft,.

г) начальные условия х®, х®, …, х® попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы. Это означает, что траектории, начинающиеся в этой области, со временем приходят в особую точку присоединенной системы, которая для них является притягивающей точкой — аттрактором.

Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения быстрых переменных не используются в вырожденной системе. Согласно теореме Тихонова, если выполняется условие «в», то результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы.

Таким образом, необходимым условием редукции является наличие малого параметра в уравнениях (5.29).

Теорема Тихонова явно или неявно применяется при исследовании практически любых моделей биологических систем, в этом мы убедимся в дальнейшем.