Конформное отображение односвязных областей

Мы знаем, что отображение области G плоскости z на плоскость w, выполняемое с помощью функции w=f (z), аналитической в О, будет конформным во всех точках z_t где производная f'(z) не равна нулю. Это отображение области G будет взаимно однозначным, если различным точкам z_{ и г₂ области G всегда соответствуют две разные точки и w₂ на плоскости w. В этом последнем случае каждой точке z односвязной области G соответствует определённая точка w некоторой односвязной области Т плоскости те/, и, обратно, каждой точке области Т отвечает единственная точка в области G. Другими словами, при взаимно однозначном отображении области G на область Т функция, обратная однозначной аналитической функции w=f (z), будет в свою очередь однозначной функцией в области Т. Естественно возникает вопрос: может ли в случае взаимно однозначного соответствия производная/'^) обращаться в нуль и, таким образом, нарушаться конформность отображения? На этот вопрос мы уже ответили отрицательно, показав, что при взаимно однозначном отображении области О производная f (z) нигде в области G не равна нулю (гл. VII, § 2, п. 3).

Следовательно, в случае взаимно однозначного отображения области G на область Т производная /' (z) не может обращаться в нуль нигде в области G, а потому отображение будет конформным всюду.

Основная задача теории конформных отображений состоит в следующем: даны две односвнзные области G и Т соответственно в плоскостях z и w найти функцию (а следовательно, и конформное) отображение этих областей друг на друга.

При решении этой задачи, не уменьшая её общности, мы можем принимать, что одна из данных областей, например Т, есть круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице, так как, чтобы осуществить взаимно однозначное и конформное отображение двух произвольных односвязных областей друг на друга, достаточно получить взаимно однозначные и конформные отображения каждой из данных областей на такой круг.

Тогда имеет место следующая теорема, известная под названием предложения Римана, принадлежащая к важнейшим результатам теории функций: каждая однозначная область G, отличная от полной плоскости или от плоскости с выключенной точкой, может быть с помощью аналитической функции отображена взаимно однозначно и конформно на внутренность единичного круга и притом так, что произвольно заданным точке в G и направлению в этой точке будут соответствовать нулевая точка и направление положительной действительной оси.

Дополнительно к этому предложению мы заметим, что при поставленных начальных условиях функция, выполняющая искомое отображение, будет единственная, как это следует из § 1, п. 2 этой главы. Таким образом, в предложении Римана мы имеем общий геометрический принцип для образования аналитических функций.