Дискретная свертка сигналов и теория z-преобразования

Свертка — основной процесс в цифровой обработке сигналов, и ее называют цифровой фильтрацией. Прямое вычисление свертки требует N• М умножений, где N — число отсчетов исходного сигнала; М — число отсчетов импульсной характеристики фильтра — длина ядра свертки. Часто длина ядра свертки достигает нескольких тысяч точек, и число умножений становится огромным. В теории цифровой обработки сигналов важное значение имеет дискретная свертка.

Дискретная свертка

При больших длинах ядра свертки сигналов существует специальный алгоритм, позволяющий вычислить ее значительно быстрее. Этот алгоритм основан на следующей важной теореме.

Теорема свертки: свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области; умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области.

Утверждение теоремы означает, что для выполнения свертки двух сигналов можно перевести их в частотную область, перемножить их спектры и перевести результат обратно во временную область. Такая операция выглядит громоздко. Однако с появлением алгоритмов БПФ, позволяющих быстро вычислять преобразования Фурье, вычисление свертки через частотную область резко сокращает число операций и поэтому стало широко использоваться в теории связи. При значительных длинах ядра свертки такой подход позволяет в сотни раз сократить время вычисления свертки.

По аналогии со сверткой двух непрерывных сигналов u (t) и h (t)

в системах цифровой обработки вводят линейную дискретную свертку, представляющую собой вещественный дискретный сигнал, отсчеты которого связаны с отсчетами двух вещественных дискретных сигналов {г/Д и [hj соотношением

В формуле (6.24) суммирование по номерам ведется от k = 0, поскольку исследуются вещественные сигналы. Если первый сигнал {u_h,} является обрабатываемым дискретным с числом отсчетов k, а второй сигнал {/z_w} — импульсной характеристикой обрабатывающей цифровой системы с числом отсчетов (ядром свертки) т, то число выходных отсчетов в дискретной свертке сигнала будет N = k + т — 1, т. е. операция свертки расширяет выходной сигнал на /77 — 1 точку. Это фундаментальное свойство линейных дискретных систем. Операция свертки коммутативна и допускает изменение порядка следования функций:

т.е. можно переставлять местами исходный сигнал и ядро свертки.

Линейную свертку (6.24), являющуюся основой алгоритма дискретной фильтрации, не следует путать с круговой сверткой.

Пример 6.9.

Посчитаем, сколько умножений нужно произвести для вычисления свертки сигнала длины п с ядром импульсной характеристики длиной т.

Решение

Для вычисления свертки первым рассмотренным способом нужно каждую из п точек исходного сигнала перевести в т точек импульсной характеристики и сложить соответствующие точки характеристики. Таким образом, для каждой точки исходного сигнала нужно умножить на ее значение вектор из т точек импульсной характеристики (т умножений). Итак, всего для вычисления свертки требуется пт умножений.

Пример 6.10.

Для двух дискретных сигналов, заданных соответственно отсчетами {ид — = {1, 2, 3, 4, 5} и {h_m} = {10, 7, 5, 3}, вычислим дискретную свертку.

Решение

Воспользовавшись алгоритмом дискретной свертки (6.24), осуществим непосредственное вычисление ее отсчетов. Для этого на одной полоске клетчатой бумаги запишем отсчеты сигнала {иД, а на другой — отсчеты другого сигнала.

{hj, причем в последней позиции элементов второго сигнала расположены зеркально, т. е. справа палево (рис. 6.14, а).

Чтобы определить нулевой отсчет свертки, совместим первые позиции сигналов (рис. 6.14, 6) и перемножим отсчеты, находящиеся друг под другом. В результате имеем у₀ = 10. Для вычисления следующего отсчета г/, сдвинем любую полоску на одну позицию (рис. 6.14, в). В данном случае после перемножения отсчетов и сложения результатов получим г/, = 20 + 7 = 26. Проделав аналогичные операции до момента, когда отсчеты перестанут накладываться, находим значения свертки: {у_к} = {10, 27, 49, 74, 99, 64, 37, 15}.

Рис. 6.14. К вычислению дискретной свертки:

а — исходные сигналы; б — перемножение отсчетов; в — результат свертки.