Затухающие колебания. 
Физика

Свободные гармонические колебания — это идеализированная модель вечного двигателя. Тем не менее, как и другие идеальные модели, она служит полезной базой изучения реальных процессов, в которых неизбежно рассеяние энергии на трение, излучение и т. д.

где помимо использования соотношения (7.3) введено обозначение Поскольку из формул (7.12) и (7.23) следует, что энергия колебаний разной природы пропорциональна квадрату их амплитуды, то в результате потерь энергии амплитуда уменьшается. Свободные колебания с уменьшающейся амплитудой называют затухающими. При малых скоростях движения тел, например пружинного маятника, существует сила трения, пропорциональная скорости, и потому уравнение (7.1) следует дополнить еще одним членом:

Отсюда.

Уравнение (7.25) можно свести к виду (7.1) путем замены переменной: .г = e~^b‘y (t). Если это выражение и его производные подставить в уравнение (7.25), то получим где Теперь уравнение (7.27) имеет такой же вид, как (7.1), и решение аналогично: у = А₀cos (co7 + <�р). Возвращаясь к исходной переменной, находим.

ВОПРОС. Чем затухающие колебания отличаются от собственных?

ОТВЕТ. Из формулы (7.28) следует, что частота со затухающих колебаний меньше, чем собственных, а коэффициент перед косинусом в формуле (7.29) представляет собой экспоненциально уменьшающуюся амплитуду колебаний (рис. 7.5). Поскольку такие колебания гармоническими уже не являются, термины «амплитуда», «частота» и др. можно применять лишь по отношению к данному циклу колебаний.

Рис. 75.

Параметр б, определяющий скорость уменьшения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Затухание характеризуют также отношением амплитуд двух следующих друг за другом циклов (см. рис. 7.5), которое называют декрементом затухания:

На практике удобнее применять логарифмический декремент затухания.

Скорость затухания колебаний изменяется в широких пределах. Возможен и такой процесс, когда колебания прекращаются сразу. Его называют апериодическим. Пример — поведение подвески легкового автомобиля, кузов которого придавлен и отпущен.

Затухание электромагнитных колебаний происходит в результате потери энергии на джоулеву теплоту, которая также возникает как результат своеобразного трения направленно движущихся зарядов. Поскольку U_L=U_C + IR, уравнение (7.17) дополняется еще одним членом:

Помимо использования соотношения (7.19) введем обозначение.

В результате получим такое же уравнение, как (7.25), и аналогичное решение:

где со по-прежнему определяется выражением (7.28). Здесь справедливы и рис. 7.5 (с соответствующей заменой х па q), и соотношение (7.31).

ВОПРОС. Полезны колебания или вредны?

ОТВЕТ. Ответы на подобные вопросы составляют диалектическое единство противоположностей.

Примеры практики Чрезмерная жесткость механических систем приводит к разрушению зданий, сооружений, станков, перевозимых грузов… Во избежание этого применяют элементы, которые преобразуют нагрузки в энергию упругих колебаний, — подвески, растяжки, прокладки и т. п. Например, сейсмическую стойкость зданий обеспечивают мощной упругой «подушкой». Однако их полезность содержит и свою противоположность — возникают неудобства в управлении автомобилем, увеличивается время измерения стрелочным прибором и т. д. Поэтому в сочетании с упругими элементами применяют демпферы (гасители колебаний) — воздушные, жидкостные или электромагнитные.

В ряде случаев колебания являются целью, их затухание нежелательно, и тогда применяют подшипники, смазки, отполированные опоры осей (часы) и т. п.