Графическая интерпретация теоремы Попова

На практике вместо условия (8.18) удобно использовать его графическую интерпретацию. С этой целью подставим в неравенство значение V^O'co):

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

В результате преобразований получим Введем видоизмененную амплитудно-фазовую частотную характеристику

где R*(tо) = R (со); /*(со) = соГ₀/(со), 7'₀ = 1 с — нормирующий множитель. Это позволяет записать неравенство (8.19) в виде.

Если теперь вместо неравенства (8.21) записать равенство

то получим уравнение прямой на комплексной плоскости, которая прохо;

f 1).

дит через точку с координатами I——;j (). Ее наклон зависит от числового значения h.

С учетом уравнения (8.22) можно предложить следующую формулировку графической интерпретации теоремы Попова, нелинейная система будет абсолютно устойчивой, если можно подобрать хотя бы одну прямую,

проходящую через точку комплексной плоскости с координатами jOj.

так, чтобы видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части ?*(]ы) находилась справа от этой прямой.

На рис. 8.4 приведен пример расположения W*(ja>, соответствующего абсолютной устойчивости системы.

Рис. 8.4. Иллюстрация абсолютной устойчивости.

Отметим, что в этом случае нелинейная система будет устойчива при любой нелинейной характеристике, удовлетворяющей условию (8.17).

Если не выполняется условие (8.21), то видоизмененная амплитуднофазовая характеристика линейной части ?*(j (o) может иметь вид, показан;

Рис. 8.5. Пример невыполнения теоремы об абсолютной устойчивости.

( 1 ^.

ный на рис. 8.5. В этом случае через характерную точку /0 невозмож;

ik).

но провести прямую, соответствующую графической интерпретации теоремы.

Таким образом, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой, однако может быть асимптотически устойчивой при конкретной нелинейной характеристике. Для проверки этого условия следует воспользоваться, например, вторым методом Ляпунова.