Формула полной вероятности и формула Байеса

Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которая может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Я, Я2, Я3,…, Я", образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

где

Пример 3.25. Имеются 3 одинаковые урны с шарами. В первой из них находится 3 белых и 4 черных шара, во второй — 2 белых и 5 черных, а в третьей — 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?

Решение. Пусть событие А — извлечен белый шар, Я, — выбрана первая урна, Н₂ — выбрана вторая урна, Я, — выбрана третья урна. Все события выбора урны равновероятны, следовательно, их вероятности Найдем условные вероятности события А при выборе соответствующей урны:

Подставляя эти данные в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность извлечения белого шара:

Пример 3.26. В списке медперсонала поликлиники числится 40 врачей, 30 медсестер и 5 заведующих отделениями. Вероятность выполнить квалификационную категорию равна: для врача — 0,9; медсестры — 0,8 и заведующего отделением — 0,93. Найти вероятность того, что наугад отобранный медработник подтвердит квалификационную категорию.

Решение. Отобранный медработник, сдавший квалификационную категорию (событие А), может оказаться врачом (гипотеза Я,), медсестрой (гипотеза Я₂)и заведующим отделением (гипотеза Я,). Согласно условию примера вероятности гипотез будут равны соответственно:

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Искомая вероятность того, что отобранный наугад медработник подтвердит квалификационную категорию, по формуле полной вероятности: