Статистическое определение вероятности

Относительной частотой fV (A) события А называется отношение числа испытаний М, в которых событие А появилось, к общему числу произведенных испытаний п, т. е.

При небольшом п относительная частота события носит в значительной степени случайный характер. Однако при большом количестве испытаний относительная частота W (A) события группируется около некоторой постоянной величины.

В соответствии с законом больших чисел при неограниченном увеличении числа п испытаний относительная частота W (A) события стремится к его вероятности. На основании такого подхода вероятностью случайного события А называют предел, к которому стремится относительная частота fV (A) этого события А при неограниченном увеличении числа испытаний.

Это соотношение называют статистическим определением вероятности, а за вероятность события А можно принять его относительную частоту при большом числе испытаний. Классическое и статистическое определение вероятностей при решении одних и тех же задач приводит к одинаковым результатам.

Пример 2.9. В партии из 300 использованных медицинских шприцов однократного применения 2 оказались нестандартными. Найти относительную частоту появления нестандартного шприца (событие А).

Решение. По формуле (2.3) найдем искомую частоту события.

Пример 2.10. Английский статистик К. Пирсон (1857−1936) в своих опытах бросал симметричную монету 24 000 раз, при этом герб (событие А) выпадал 12 012 раз. Найти относительную частоту выпадения герба.

Решение. Воспользуемся статистическим определением относительной частоты события.

Поскольку п достаточно велико, можно с хорошей точностью считать, что вероятность выпадения герба равна относительной частоте этого события, т. е. Р (А)~ W (A) = 0,5005.

Рис. 2.2.

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда число равновозможных исходов бесконечно. Пусть плоская фигура g, имеющая площадь составляет часть плоской фигуры G с площадью Sa. На фигуру G наудачу брошена точка (рис. 2.2). В этом случае попадание точки в область G — достоверное событие, а в g — случайное. Считается, что все точки области G равноправны, т. е. наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области G. Предполагается, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади .% этой фигуры и не зависит от ее расположения и формы фигур О' и g.

Геометрической вероятностью события А называется отношение площади g к площади G, т. е.

где gблагоприятствующая область события А.

Аналогично определяется вероятность попадания точки в одномерную (прямая, отрезок) и трехмерную (некоторое тело в пространстве) области. Обозначая соответствующую меру областей (длину, площадь, объем) через т можно записать.

Пример 2.11. На отрезке [0,1] наудачу бросается точка (рис. 2.3). Какова вероятность того, что она попадет в промежуток [0,3,0,5]?

Решение. Обозначил* события: А — наугад брошенная на отрезок.

[0,1] точка попала в промежуток [0,3,0,5]. Очевидно, что общее число исходов А выражается дайной отрезка: L = 1- 0 = 1 ед, а благоприятствующей — /=0,5−0,3 = 0,2 ед.

Рис. 2.3. Числовая ось.

По геометрическому определению вероятности

Пример 2.12. В мазке крови круглой формы площадью 2,62 10~'°м² находится эритроцит с радиусом 3,6-КГ⁶ м. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в мазок крови, окажется внутри эритроцита?

Решение. Рассмотрим событие: А — случайным образом поставленная точка попала в эритороцит. По определнию геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади эритроцита (в которой точка должна попасть) к площади мазка крови (в которой ставится точка), т. е.