Теория подобия и подобные преобразования, критерии и числа подобия. 
Применение теории подобия к расчету процессов защиты окружающей среды

Анализ процессов и расчет аппаратов химической технологии, как и аппаратов защиты окружающей среды, всегда основывается на изучении кинетических закономерностей этих процессов. При этом оказывается, что исследование самых различных процессов (гидромеханических, теплои массообменных, а также химических) имеет много общего, так как во всех случаях среда рассматривается как непрерывная и для изучения этих процессов применяется хорошо разработанный аппарат математической физики.

Одним из основных понятий математической физики является поле. Полем некоторой физической величины называется совокупность ее мгновенных значений на всем протяжении пространства, охваченного процессом. Аналитически поле задается в виде функции координат и времени. Например, выражение для температурного поля записывается следующим образом:

где х_у y_f z — пространственные координаты точки; т — время.

При этом рассматривается, что бесконечно малым перемещениям соответствует бесконечно малое изменение соответствующей величины. Это означает, что полный диффе;

_f дТ,.

ренциал этой величины всегда имеет смысл аТ = —ат, т. е. ча;

ох

стные производные в этом соотношении всегда конечны.

Поле, остающееся неизмененным во времени, называется.

с)Т

стационарным. В этих условиях — = 0 — стационарный нро;

сх

цесс. Поле является общей характеристикой процесса. Если оно известно, то не составляет труда получить все остальные частные характеристики. Если, например, рассчитано температурное поле в движущейся жидкости, то можно легко вычислить значение тепловых потоков. Поэтому в основу математической теории процессов переноса, как правило, закладываются уравнения полей соответствующих физических величин. Вывод уравнения процесса можно осуществить, если имеется конкретное представление о его физическом механизме и о движущих силах его развития, которые формируются по мере накопления опытных данных. На их основе создается модель явления, отражающая его существенные черты и являющаяся схематизацией реального процесса.

После этого к исследованию привлекаются фундаментальные законы физики, химии или дополнительные гипотезы. Чаще всего это процесс, протекающий в бесконечно малый промежуток времени. Величины dx, dy, dz> dx — бесконечно малые в математическом смысле. Физически они велики, потому что среда должна быть бесконечной непрерывной. Например, для теплои массообменных процессов линейный размер бесконечно малой величины должен быть гораздо большим по сравнению с длиной пробега молекулы, а промежуток времени — большим по сравнению со временем пробега молекулы.

Изучаемое явление необходимо рассматривать с различных сторон, привлекая для этого несколько физических законов и строя подобным образом систему уравнений. Например, температурное поле в движущейся жидкости описывается системой уравнений, включающей динамические уравнения движения, уравнения непрерывности среды и собственно уравнения температурного ноля. Полученная система уравнений — это дифференциальные, интегральные и интегрально-дифференциальные уравнения. Информация, которой должны быть дополнены основные уравнения, представляет собой условия единственности решения. Кроме того, необходимо ввести граничные и начальные условия, которые называют краевыми, т. е. условия на пространственно-временных краях системы. Чаще всего задаются граничные условия первого и второго рода (наборы значений исходной переменной и ее производной на границах системы в любой момент времени). В качестве граничных условий могут быть заданы параметры окружающей среды и закон взаимодействия между системой и внешней средой (граничные условия третьего рода).

Рассмотрим уравнение температурного поля в неподвижной среде:

где Т — температура; а — коэффициент температурной проводимости, объединяющий три константы, а = —, здесь ср

X — теплопроводность; с — теплоемкость; р — плотность;

₂ д² д² д²

V^z = —+ —~> + —о — оператор Лапласа, здесь х, y, z — декар;

дх ду GZ

товы координаты; т — время;

Будем считать, что это периодический процесс, т. е. в условиях единственности содержится хотя бы по одному значению протяженности /₀ и времени ?₀— Тогда безразмерные координаты и время могут быть представлены в относительной форме:

Так как по условию мы рассматриваем уравнение температурного поля, то вместо абсолютной температуры можно ввести ее разностное значение 0_О, отсчитываемое от некоторого уровня Т_ср. Предположим, что помимо Г_ср задано еще одно значение Т₀ — начальная температура. Тогда.

Подставив полученные выражения в уравнение температурного поля, получим:

Безразмерные комплексы, составленные из величин, существенных для данного процесса, называются числами подобия. Числа подобия, содержащие только заданные по условиям задачи параметры, называются критериями подобия. Например, в случае температурного поля комплекс называется критерием Фурье: F₀ =.

В задачах теории подобия в химической технологии часто используются уравнения вида.

где D, D₂, D_s — некоторые дифференциальные операторы, каждый из которых определяет интенсивность какого-либо процесса.

те _п

Относительная интенсивность соответствующих эффектов характеризуется отношением типа —, где Df_t — некий.

п °^к

о ^ио

средний уровень, а отношение ——относительная интен;

сивность. Общее число таких не сводимых друг к другу уравнений равно (s — 1). Подобно преобразованиям уравнения температурного поля в неподвижной среде, для нашего уравнения можем записать:

где П" П/, — размерные степенные комплексы; П# — безразмерные степенные комплексы; — множители, которые зависят только от законов распределения безразмерных переменных.

Комплексы Пж — характеризуют общие свойства, обусловленные механизмом процесса. Конкретные частные особенности процесса отражаются в множителях d^.

Критерии подобия могут рассматриваться как особого рода приближения (средняя мера) отношения интенсивности соответствующих физических эффектов. Такая концепция является непосредственным следствием рассмотрения величин типа Di/Dk — меры отношения интенсивности в данный момент. Но при замещении относительных операторов комплексами точная мера становится приближенной и в значительной мере условной. Ее следует рассматривать как основу количественных оценок только в том смысле, если одинаковым значениям критерия соответствуют одинаковые значения относительной интенсивности рассматриваемых эффектов. Числа подобия являются более общим понятием, чем критерии. Большинство комплексов названы числами подобия, так как они могут встречаться и как критерии подобия, и как безразмерные переменные (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Безразмерные комплексы химической технологии

Хотя критерии и числа подобия были разработаны для описания процессов химической технологии, в настоящее время они широко используются и при описании процессов защиты окружающей среды от загрязнений.

Рассмотрим применение теории подобия для описания неоднородных систем аэрогидромеханическими методами.

• 1. Для описания в критериальной форме процесса осаждения шарообразной частицы в неподвижной неограниченной среде могут быть применены критерии подобия: Архимеда (Ат), Лященко (Ly) и Рейнольдса (Re). Наиболее удобной формой критериальной зависимости является Ly = f (Ar).
• 2. При так называемом ламинарном режиме осаждения, когда критерии имеют значения Аг < 3,6; Ly < 2 • 10^_3, Re < 0,2, Стоксом теоретически получена следующая формула для скорости осаждения со_()С (в м/с) шарообразной частицы:

Для осаждения частицы в газовой среде формула (2.12) упрощается:

так как в этом случае величиной р_с можно пренебречь.

В формулах (2.12) и (2.13): d — диаметр шарообразной частицы, м; р — плотность частицы, кг/м³; р_с — плотность среды, кг/м³; р₍. — динамический коэффициент вязкости среды, Па/с, т. е. Н с/м², или кг/(м/с).

3. Определение скорости осаждения шарообразной одиночной частицы в неподвижной неограниченной среде по обобщенному методу, пригодному при любом режиме осаждения, осуществляют следующим образом.

Определяют критерий Архимеда:

Rdr.

где Ga= ——критерий Галилея.

Fr

Для осаждения в газовой среде:

Практически возможно применение формулы Стокса и при более высоких значениях критериев Архимеда и Лященко.

По найденному значению критерия Аг определяют критерий Re или критерий Ly (рис. 2.1):

либо (если среда — газ).

Далее вычисляют скорость осаждения:

или.

Для частицы неправильной формы скорость осаждения определяют тем же путем из критерия Лященко, но с подстановкой в критерий Архимеда вместо d величины <7,.

Эквивалентный диаметр d, частицы неправильной формы вычисляют как диаметр условного шара, объем которого V равен объему тела неправильной формы:

где М — масса частицы, кг.

4. Диаметр осаждающейся шарообразной частицы при известной скорости осаждения находят обратным путем, т. е. вычисляют сначала критерий Лященко:

и по найденному значению Ly определяют критерий Аг (см. рис. 2.1); из последнего по формуле (2.16) вычисляют диаметр шарообразной частицы.

5. Эквивалентный диаметр частицы твердого тела неправильной формы при известной скорости осаждения определяют таким же путем. Сначала определяют критерий Ly по формуле (2.16), затем находят значение критерия Аг из рис. 2.1 для частицы соответствующей формы и вычисляют ее эквивалентный диаметр:

6. Площадь осаждения F_oc (в м²) пылеосадительной камеры или отстойника для суспензий (взвесей) определяется по формуле.

где V — объемный расход газа (жидкости), проходящего через аппарат параллельно поверхности осаждения, м³/с; (о'_ос ~ средняя расчетная скорость осаждения частиц, м/с.

Отношение средней расчетной скорости стесненного осаждения частиц со₍'_)С к скорости осаждения одиночной частицы со_ос зависит от объемной концентрации суспензии.

Рис. 2.1. Зависимость критериев Re и Ly от критерия Аг для осаждения одиночной частицы в неподвижной среде:

1 и 5 — шарообразные частицы; 2 — округленные; 3 — угловатые; 4 — продолговатые; 6 — пластинчатые При ориентировочных расчетах, учитывая приближенно отличие реальных условий осаждения от теоретических (стесненность осаждения, форма частиц, движение среды), среднюю расчетную скорость осаждения часто принимают равной половине теоретической скорости осаждения одиночной шарообразной частицы.

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 2.1. Найти верхний предел (т.е. наибольший диаметр частиц) применимости формулы Стокса к частицам кварца плотностью 2650 кг/м³, осаждающимся в воде при 20 °C.

Решение. Формула Стокса строго применима при Лг < 3,6. Поэтому наибольшая частица кварца, осаждение которой может быть рассчитано по формуле Стокса, должна иметь диаметр:

Задача 2.2. Найти скорость осаждения в воде частиц кварцевого песка шарообразной формы диаметром 0,9 мм, если плотность песка 2650 кг/м³, а температура воды 20 °C.

Решение. Определяем критерий Лг.

где для воды р₍. = 1 • 10^_3 Па-с.

По значению Лг= 1,18−10⁴ из рис. 2.1 находим Re = 140. Скорость осаждения частиц кварцевого песка шарообразной формы диаметром 0,9 мм определяем из выражения:

Задача 2.3. Определить размер наибольших шарообразных частиц мела, которые будут уноситься восходящим потоком воды, идущим со скоростью 0,5 м/с. Температура воды 10 °C, плотность мела 2710 кг/м³.

Решение. Определяем критерий Ly по формуле.

где для воды при 10 °C, р_с =1,3−10^_3 Па-с.

По найденному значению Ly = 5,72−10³ из рис. 2.1 находим Re = 1750; затем по формуле определяем максимальный диаметр частиц мела, которые будут уноситься водой:

Задача 2.4. Найти скорость осаждения в воде при 20 °C частицы свинцового блеска угловатой формы с d₃ = 1 мм. Плотность свинцового блеска 7560 кг/м³.

Решение. Скорость осаждения частиц неправильной формы найдем из критерия Ly, предварительно определив значение критерия Лг.

где ц_с = 1 • 10^_3 Па-с.

По графику 2.1 находим для частиц угловатой формы критерий Ly = 3,1 -10².

Скорость осаждения определяем по формуле.

Задача 2.5. Определить размеры продолговатых частиц угля (pi = 1400 кг/м³) и плоских частиц сланца (р2 = 2200 кг/м³), оседающих с одинаковой скоростью со_()С = 0,1 м/с в воде при 20 °C.

Решение. Размеры частиц d₃ следует рассчитать по формуле.

предварительно определив значение критерия Аг по критерию Ly из графика для частиц соответствующей формы. Для частиц продолговатой формы.

где ц_с = 1? 10^_3 Па-с; р_с = 1000 кг/м³.

Для частиц пластинчатой формы:

Значению Ly = 255 соответствует Аг_х = 9−10⁴ для продолговатых частиц. Значению Ly₂ = 85 соответствует Аг₂ = 7 -10⁴ для частиц пластинчатой формы.

Эквивалентный диаметр частиц угля:

Эквивалентный диаметр частиц сланца: