Линейный гармонический осциллятор
Вид В действительности модель гармонического осциллятора является хорошим приближением для описания малых колебаний (т.е. когда амплитуда, А так мала, что даже при максимальном отклонении от положения равновесия сила остается пропорциональной «г). При больших амплитудах для потенциальной энергии обычно используют выражение Морзе. Решение задачи о линейном гармоническом осцилляторе лежит в основе… Читать ещё >
Линейный гармонический осциллятор (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Решение задачи о линейном гармоническом осцилляторе лежит в основе интерпретации колебательных спектров молекул, расчете поправок к энергии молекул вследствие наличия колебательного движения при нахождении термодинамических функций.
В классической механике линейным гармоническим осциллятором называется точка с массой т, совершающая под действием силы.
гармонические колебания вдоль прямой. Силе F соответствует потенциал.
С другой стороны сила равна произведению массы на.
ускорение.
следует, что получившемуся уравнению удовлетворяет функция, гармонически зависящая от времени:
Тогда из равенства двух выражений для силы.
где А — постоянная (амплитуда колебания); со() — частота колебаний.
Подставим выражение для 
х из (3.11) в уравнение (3.10).
и после преобразований получим 
Теперь можно записать, что.
Поэтому уравнение Шрёдингера для осциллятора имеет.
вид В действительности модель гармонического осциллятора является хорошим приближением для описания малых колебаний (т.е. когда амплитуда А так мала, что даже при максимальном отклонении от положения равновесия сила остается пропорциональной «г). При больших амплитудах для потенциальной энергии обычно используют выражение Морзе
и k=2Da, где D и а — постоянные.
Решение уравнения (3.12), удовлетворяющее свойствам волновой функции, имеет место лишь при собственных значениях.
где п — колебательное квантовое число.
Таким образом, энергия гармонического осциллятора в квантовой механике имеет дискретный спектр равномерно распределенных значений. Значение энергии его нулевых колебаний (при п — О, Е0 = -у-) отлично от нуля.
Нормированные собственные функции уравнения Шрёдингера для гармонического осциллятора имеют вид.
_ С-П" «d»
где х0=ф/(тоз0У, Н"(у) = ' ехр (у2)—ехр (-у2) — по-
sl2″ nyfc dy"
лином Чебышева — Эрмита п-ro порядка.
Собственные функции, соответствующие первым трем собственным значениям, наглядно представлены на рис. 3.4.
Рис. ЗА. Зависимость первых трех волновых функций гармонического осциллятора от координаты Они имеют следующий вид:
Общее число узлов волновой функции |/ одномерного гармонического осциллятора равно п. Так, функция р0 не имеет узлов, у, имеет один узел при х = 0, (/2 имеет два узла, х0
при х = +—?=.
v 2.