Антисимметризация волновой функции

Итак, система электронов описывается антисимметричной волновой функцией, удовлетворяющей условию (6.4) для любых пар значений k и т.

Решением уравнения Шрёдингера.

получается волновая функция у, не обязательно обладающая каким-либо свойством симметрии. Подействуем на обе части уравнения оператором перестановки.

Учтем, что оператор Гамильтона не изменяется при действии на него оператора P_km. Имеем.

Мы получили новую функцию Р. _mj/, удовлетворяющую уравнению Шрёдингера. Из двух функций, являющихся решением уравнения Шрёдингера, их линейной комбинацией всегда можно построить новую функцию, также удовлетворяющую этому уравнению. Поэтому построим новую функцию вида.

Эта функция антисимметрична по отношению к перестановке P_km. Действительно, действуя на нее оператором P_km, получаем.

Поэтому если волновая функция двух электронов.

не обладает свойством антисимметрии, то из нее всегда можно построить линейную комбинацию.

обладающую этим свойством.

В общем случае N электронов антисимметричная функция строится из несимметричной функции.

с помощью выражения, получаемого перестановкой всех пар координат. При этом учитывается, что если число перестановок нечетное, то появляется знак минус перед составляющей функции, а если — четное, то — плюс. Такая антисимметризованная волновая функция имеет вид.

где Р — оператор перестановки какой-нибудь пары координат Х‘, Р — индекс перестановки (р=0, 1,…, (ЛП-1)).

Замена несимметричной функции другой, образованной из нее и обладающей свойством антисимметрии, называется антисимметризацией функции.