Первичные понятия. 
Числовые системы

Числовые и алгебраические системы

Числовая система — это числовое множество и некоторая совокупность операций и отношений, определенных на этом множестве. Так, с множеством натуральных чисел N мы рассмотрим системы (N, +), (N, +, •>, (N,, и (N, +,-,<). Например, последняя запись читается так: система с основным множеством N_y бинарными операциями сложения «плюс» и умножения «точка» и бинарным отношением «меньше». Если вместо N взять произвольное множество А и через Q_r обозначить некоторую совокупность операций, определенных на А, а через С1_Р — совокупность отношений, определенных на этом же множестве, то получим систему (A, C2_P, Q_P), которая называется алгебраической системой, причем, А называется основным множеством системы.

Определяя различные числовые системы, мы будем пользоваться понятиями полугруппы, группы, кольца, поля и т. п. Определения этих понятий будут даваться по мере надобности. Их использование позволяет в краткой форме указать на выполнимость тех свойств, которые заложены в соответствующем определении. Например, систему целых чисел мы определим как кольцо, удовлетворяющее определенным условиям. Здесь одним словом «кольцо» мы заменяем целый список требований, фигурирующих в определении кольца.

Говоря о числах, нельзя не говорить об операциях сложения и умножения, а также об отношении «меньше». Поскольку нашей целью является указание некоторых твердых основ в понимании чисел, то мы должны дать общие определения бинарной операции и бинарного отношения. Проанализируем наши представления об этих понятиях. Начнем с анализа знакомого с детства сложения натуральных чисел. Эту бинарную операцию можно рассматривать как отображение, сопоставляющее всякой упорядоченной паре натуральных чисел некоторое третье число. Например, упорядоченной паре (2,3) по правилу + ставится в соответствие число 5, что записывается в виде 2 + 3=5. Этот пример показывает, что прежде чем дать определение бинарной операции, нужно предварительно определить что такое упорядоченная пара и что такое отображение. Отношение «меньше» для натуральных чисел выступает как свойство, объединяющее эти числа в упорядоченные пары, и может быть определено полным списком соответствующих упорядоченных пар. В этой трактовке вместо 2<3,.

5 <7, 3<8 говорят, что упорядоченные пары (2,3), (5,7), (3,8) принадлежат отношению «меньше», понимая под отношением «меньше» список всех упорядоченных пар, определяющий это отношение. Это наталкивает на мысль определить произвольное бинарное отношение как некоторое множество упорядоченных пар. В следующем пункте приведены строгие определения этих и других основных понятий, которые будут использованы в дальнейшем.

Заметим, что хотя нашей целью является изложение аксиоматических теорий основных числовых систем, в примерах, поясняющих абстрактные понятия, мы будем использовать числа до их аксиоматического определения. При этом N, Z, Q_y R, С будут обозначать соответственно множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.