Гиперкомплексные числа. 
Числовые системы

Как уже отмечалось, расширение поля действительных чисел до поля комплексных чисел сопровождается «потерей качества»: поле комплексных чисел нельзя превратить в упорядоченное поле. Дальнейшие расширения связаны с еще большими потерями. Так, умножение кватернионов уже не коммутативно.

Теорема Фробениуса утверждает, что нельзя придумать «новую числовую систему», которая, так же как и тело кватернионов, было бы с одной стороны, телом, а с другой — конечномерным векторным пространством над полем R. Это утверждение придает вид завершенности теории числовых систем. Однако ценой отказа от ассоциативности умножения можно получить бесконечно много неассоциативных конечномерных алгебр с делением над полем R. Если, например, в определении тела свойство ассоциативности умножения заменить на свойство альтернативности (а а) Ь = а (а? b), (b a) a=b (a a) для любых элементов а, b и повторить определение 7.2.5 с учетом этих изменений, то получим определение альтернативной алгебры с делением над нолем. В этом случае алгебры с делением в смысле определения 7.2.5 называют ассоциативной алгеброй с делением. Понятно, что всякая ассоциативная алгебра является альтернативной. Обобщенная теорема Фробениуса утверждает, что единственной альтернативной неассоциативной конечномерной алгеброй с делением над полем R является алгебра октав, придуманная А. Кели. Она содержит 8 базисных единиц, всякий ее элемент записывается в виде их линейной комбинации с действительными коэффициентами и реализуется как вектор из /?⁸.

Итак, можно сделать следующие выводы:

• 1. Поле действительных чисел — это единственная алгебра с делением над полем действительных чисел R ранга 1.
• 2. Поле комплексных чисел — это единственная коммутативная и ассоциативная алгебра с делением над полем R конечного ранта г > 1.
• 3. Тело кватернионов — это единственная ассоциативная, но не коммутативная алгебра с делением над полем R конечного ранга.
• 4. Алгебра октав — это единственная альтернативная, но ис ассоциативная алгебра с делением над полем R конечного ранга.

Кватернионы и октавы называют гиперкомплексными числами, подчеркивая тем самым их родословную. Дальнейшие сведения о гиперкомплексных числах можно найти, например, в [5].

Упражнения

• 1. Для комплексного числа а+Ы (кватерниона a+bi + cj + dk) число а-Ы (соответственно a—bi—cj—dk) называется сопряженным. Пусть а, /? — либо пара комплексных чисел, либо пара кватернионов и черта над числом обозначает переход к сопряженному числу. Докажите следующие свойства сопряженных чисел:
• 1) а + р = а+Р а-р-а •/?; (аа) (РР) = (аР)(аР).
• 2. В последнем равенстве предыдущего упражнения запишите комплексные числа (кватернионы) сх и /У в алгебраической форме и выполните действия. В результате получится тождество, которое говорит о том, что произведение суммы квадратов двух (четырех) действительных чисел на сумму квадратов двух (четырех) действительных чисел равно сумме квадратов двух (четырех) действительных чисел. В этой связи отметим теорему А. Гурвица [5] о том, что подобная формула возможна еще лишь для случая восьми чисел.

где.

3. Докажите, что тело кватернионов изоморфно телу матриц вида ог.ДеС.