Предел функции при х — » «>, х —» — «>, х —> + «

Кроме понятия предела функции в точке существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 5. Число А называется пределам функции /(х) при х -> <�", если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента (8.8) соответствующая последовательность значений функции (8.9) сходится к А.

Для обозначения предела функции при х —> используется символика:

lim f (x) = A.

х-*°°

Определение 6. Число А называется пределом функции /(х) при х — -н"), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой отрицательны (положительны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Определения 5 и 6 даны по Гейне («на языке последовательностей»). Можно дать равносильные определения и по Коши («на языке в — б»). Например, число А называется пределом функции/(х) при х —" °°, если для любого числа в > 0 существует число 8, такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству х > 5, справедливо неравенство |/(х) — А < в.

Приведем пример предела функции при х -> «>. Пусть/(х) = 1/х. Эта функция имеет предел при х —"<�», равный нулю. Действительно, если (8.8) бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность (8.9) значений функции имеет вид: 1/х, 1Д₂" …" 1/х_и, и по теореме 7.1 она является бесконечно малой, т. е. ее предел равен нулю, или Пт /(х) = 0.