Применение аппарата производных в экономике

Предельные показатели в микроэкономике

Приведем пример двух предельных показателей в микроэкономике.

I. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q: С — /(Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует себестоимость ДС прироста продукции ДQ:

В предположении о непрерывной зависимости ДСот АС естественно напрашивается замена разностного отношения в (10.33) его пределом:

Обычно в приложениях с использованием аппарата математики под предельной себестоимостью понимают именно величину (10.33а). Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой

денежных единиц. Определим средние и предельные издержки при объеме продукции Q = 15 ден. ед.

Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле C = C/Q, или в нашем случае.

откуда С (15) = 40 — 0,05 • 225 = 28,75 ден. ед.

Предельные издержки определяются согласно (10.33а) по формуле.

откуда при 0=15 получаем С'(15) = 6,25 ден. ед.

Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 28,75 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 6,25 ден. ед. и не превышают средних издержек.

2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Пусть D =/(Р) — функция спроса от цены товара Р (см. п. 8.1.6). Тогда под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1%:

Как и в предыдущем случае, при непрерывной зависимости AD от АР удобно перейти к пределу при АР -> 0:

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S{P). Напомним, что функция D (P) убывает, а функция S (P) возрастает с ростом Р.

Укажем некоторые свойства эластичности спроса. Как следует из равенства (10.34а), ее можно выразить так:

Из формулы (10. 346) видно, что ?(?) обладает свойствами логарифма, а значит:

Заметим, что поскольку функция D (P) убывающая, то D' (Р) < 0, а тогда согласно формуле (10.34а) и ?(?) < 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины |?(Z))|:

• а) если | E (D) | > 1 (?(?) < -1), то спрос считается эластичным;
• б) если | Е (Z>) | = 1 (?(?) = -1), то спрос нейтрален;
• в) если | ?(/>) | —1), то спрос нс эластичный.

Пример 14. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных видах эластичности спроса.

Решение. Выручка / равна произведению цены Р на товар на величину спроса D: Найдем производную этой функции:

Теперь проанализируем все приведенные виды эластичности спроса с учетом формулы (10.34а):

• а) E (D) < -1; тогда, подставляя (10.34а) в это неравенство, получаем, что правая часть уравнения (10.37) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку;
• б) ?(/)) = -1. Из (10.34а) следует, что правая часть (10.37) равна нулю, тф при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку;
• в) E (D)> -1. Тогда /'(Р) > 0, т. е. при неэластичном спросе повышение цены Р на товар приводит к росту выручки.

Пример 15. Пусть зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q се производства выражается формулой

Требуется определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q = 30 ден. сд. По формуле (10.34а) получаем:

откуда при Q = 30 искомая эластичность составит около -0,32, т. е. при данном объеме выпуска продукции увеличение его на 1% приведет к снижению его себестоимости примерно на 0,32%.