Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций

Рациональная функция от двух переменных — это функция, полученная из переменных и и v путем проведения над ними арифметических операций, например, функция Пусть переменные и и v являются в свою очередь функциями переменной х: и = (p (х), v = у (х); тогда функция R (ср (х), у (х)) называется рациональной функцией от (р (х) и р (х), например

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Покажем, что они могут быть сведены при помощи соответствующих подстановок к интегралам от рациональных функций (или рационализированы).

Дробно-линейные иррациональности

Рассмотрим интеграл от рациональной функции

где т — натуральное число, а, b, с, d — вещественные числа, причем .

с d

Здесь рационализирующей является подстановка Действительно

Подстановка этих выражений в интеграл (11.19) дает:

где /?, (/) — рациональная функция аргумента /.

Найдем интегралы при помощи рационализирующих подстановок.

Пример 17. Г— ——- dx.

^Jx)/x + l

Согласно формуле (11.20) имеем:

Отсюда имеем:

Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь и разлагается на сумму простых дробей:

где числа А, В, С, D находятся из уравнения методом неопределенных коэффициентов. Получаем:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Пример 18. Г—7=—тт=*.

^J V х +.

Поскольку общее кратное показателей степеней х в знаменателе равно 1/6, нужна рационализирующая подстановка / = (х)^|/6, /⁶ = jc, dx = 6/⁵ dr, Jx =/ yfx=r. Отсюда получаем: