Реализация одно-кубитовых вращений посредством извлечения фотонов из начальных базисных состояний

Цель настоящего раздела —- развить метод, который позволяет реализовать на практике одно-кубитовые логические элементы (Раздел 2.1) для некоторых базисных состояний, в частности, для сжатых когерентных состояний. Рассмотрим возможность реализации одно-кубитовых преобразований для базисных когерентных состояний методами нелинейной оптики [52, 61]. Когерентные состояния.

(2.3.1).

с амплитудами и выбираются в качестве базисных состояний. Свойства когерентных состояний обсуждались в разделе 1.4. Когерентные состояния с отличными друг от друга амплитудами не являются ортогональными друг другу [66], так как их скалярное произведение не равно нулю.

(2.3.2).

где —- начальная разница амплитуд базисных состояний. Тем не менее, когерентные состояния становятся асимптотически ортогональными, когда абсолютная разница амплитуд стремится к бесконечности. Действительно, когда, тогда выражение в правой части (2.3.2) быстро стремится к нулю.

Унитарные операции and могут быть реализованы с помощью нелинейного взаимодействия когерентного света с кристаллом с Керровской нелинейностью [52]. Можно показать, что Гамильтониан взаимодействия Керровской нелинейности и одно-модового излучения света имеет следующий вид.

(2.3.3).

где —- величина, ответственная за силу Керровского взаимодействия среды и оптического излучения. Когда время взаимодействия излучения со средой становится равным, когерентные состояния (2.3.1) трансформируются в выходные суперпозиции [52].

(2.3.4).

. (2.3.5).

Данное преобразование соответствует унитарной операции (2.1.10) с точностью до общего фазового множителя на. Другое унитарное преобразование (2.1.11) может быть реализовано посредством использования оператора фазового сдвига, который действует как, до или после преобразования. Стоит отметить, что соответствует вращению вокруг оси, т. е. одно-кубитовому NOT гейту.

Унитарное преобразование, связанное с вращением вокруг оси вектора на сфере Блоха, может быть реализовано с помощью оператора перемещения, где —- вещественное число [57,58]. Действительно, два оператора перемещения (2.2.2) и не коммутируют между собой, но произведение этих операторов —- это просто другой оператор перемещения, который умножается на дополнительный фазовый множитель [66].

. (2.3.6).

Этот фазовый множитель отвечает за вращение когерентного кубита вокруг оси на некоторый угол. Рассмотрим оператор перемещения. Действие оператора на когерентный кубит сопоставимо с действием оператора (2.1.3) на тот же самый кубит (1.5.2).

. (2.3.7).

Таким образом, унитарному преобразованию соответствует вращение вектора, описывающего кубит на Блоховской сфере (рис. 1.4), на угол вокруг оси. Оператор перемещения может быть эффективно реализован с помощью пучкового делителя с коэффициентом пропускания близким к единице и высокоинтенсивного когерентного излучения с амплитудой в вспомогательной моде пучкового делителя, где принимает действительные значения. Действие пучкового делителя на входное излучение (сигнал) может быть представимо в виде в предельном случае и [77].

Таким образом, реализуются одно-кубитовые преобразования с когерентными состояниями света при наличии нелинейного взаимодействия. Это соответствует второму способу реализации одно-кубитовых преобразования из тех трех, речь о которых шла в разделе 2.1. Известно, что гигантская Керровская нелинейность требуется, чтобы реализовать унитарную операцию [52,61]. Существует большое число оптических сред с Керровской нелинейностью. Но в разделе 1.6 уже отмечалось, что все эти нелинейности слишком незначительны по величине даже при наличии мощного входного когерентного излучения, чтобы сгенерировать выходные состояния (2.3.4, 2.3.5). Можно увеличить время взаимодействия света со средой с Керровской нелинейностью за счет увеличения длины взаимодействия излучения со средой, например, в оптическом волокне. Оптическое волокно —- это среда с Керровской нелинейностью, длина которого может быть очень большой [60]. Тем не менее, расчеты показывают [61], что на выходе из достаточно длинного оптического волокна образуется статистическая смесь когерентных состояний.

(2.3.8).

вместо чистого состояния (2.3.4). Причина образования статистической смеси когерентных состояний —- это влияние декогерентности на квантовые состояния света при распространении света вдоль среды. Например, как уже отмечалось в разделе 1.6, для образования СКС с амплитудой требуется оптическое одно-модовое волокно длиной примерно. Производство оптического волокна такой длины возможно с технологической точки зрения. Оптическое излучение, которые распространяются внутри оптоволокна, испытывает на себе влияние двух эффектов: Керровского нелинейного взаимодействия и декогерентности. И если Керровское взаимодействие порождает чистое состояние (2.3.4), то декогерентность разрушает зарождающие состояния, превращая их в статистическую смесь (2.3.8). Известно, что квантовые протоколы могут быть реализованы на основе чистых максимально запутанных состояний. Влияние эффекта декогерентности на квантовые состояния обсуждались в разделах 1.2 и 1.6. Рисунки 1.5 и 1.6 показывают примеры влияния эффекта декогерентности на квантовые состояния.

Именно, отсутствие сред с гигантской Керровской нелинейностью и влияние декогерентности на распространяющиеся состояния света являются теми основными факторами, которые не позволяют реализовать на практике одно-кубитовые преобразования на основе нелинейной оптики (2.3.4, 2.3.5). В частности, именно данное обстоятельство не позволяет реализовать на практике квантовые компьютеры, так как это было предложено в работах [57,58]. Эффектный в теории, данный метод едва ли является реализуемым на практике. Идея построения квантовых компьютеров на основе кластерных состояний [26] выглядит красивой. Но реализация на практике таких кластерных состояний едва ли возможно в настоящее время на современном уровне развития технологий. Так интересное предложение как реализовать кластерные когерентные состояния света [78] является правдоподобным, но только при наличии сред с кросс-фазовой модуляцией. Но если попытаться реализовать кластерные когерентные состояния в волокне, то на распространяющие пучки света в волокне будет действовать как минимум и само-модуляция [60], помимо только кросс-фазовой модуляции. А именно влияние само-модуляции не рассматривалось в работе [78], что ставит под сомнение саму идею сгенерировать на практике кластерные когерентные состояния света.

Стоит отметить основополагающую работу [26], о которой уже говорилось в разделе 1.1. Нелинейное взаимодействие не используется в данном методе. Тем не менее, генерация KLM (Knill, Laflamme, Milburn) состояний с большим количеством одиночных фотонов едва ли возможна в настоящее время. К тому же, успешная реализация квантовых протоколов базируется на детектировании большого числа одиночных фотонов, что сильно понижает эффективность данного метода в силу не совершенства современных фотодетекторов. Эффективность KLM метода также сильно зависит от возможности генерировать одиночные фотоны в чистых, а не в смешанных состояниях. А генерация чистых состояний одиночных фотонов в настоящее время —- это трудная задача. Данные обстоятельства позволяют признать, что KLM подход является теоретически эффектным, но практически не эффективным.

Таким образом, отсутствие эффективного нелинейного взаимодействия ведет к развитию новых методов, которые могут быть использованы для реализации элементарных гейтов для разных базисных состояний и которые базируются на отличных физических принципах. Нелинейный эффект может быть также индуцирован методам измерения квантового состояния [79]. Данный метод основывается на измерительном постулате квантовой механики [65]. Из данного постулата следует, что если часть сложной составной запутанной квантовой системы подвергнуть измерению, то состояние оставшейся не измеряемой части определяется результатом измерения на измеряемой части. Причем измерительный постулат дает возможность генерировать даже такие квантовые состояния, которые невозможно произвести с помощью точного Гамильтониана. Такие методы вошли в научную литературу под названием извлечение (subtraction) и добавление (addition) фотонов к начальному состоянию. Такие методы являются вероятностными (не детерменированными), то есть успешная генерация желаемого состояния происходит только после регистрации (кликов) фотонов во вспомогательных модах сложного составного состояния. Данное событие может происходить с некоторой вероятностью, может быть даже маленькой. Но когда определенное событие регистрируется в вспомогательных модах, то тогда соответствующее состояние определенно рождается в изучаемых модах.

Впервые, такой метод был рассмотрен в работе [80], где была теоретически показана возможность реализовать СКС большой амплитуды посредством извлечения нескольких фотонов из сжатого одно-модового и двух-модового вакуумного состояния света. Аналитический подход в данной работе основывался на использовании детекторов, которые способны разрешать количество фотонов [81]. Производство таких детекторов представляет в настоящее время сложной и пока едва ли выполнимой задачей, что ставит под сомнение реализацию таких фотон извлеченных состояний, так как это было предложено в [80]. Тем не менее, данный подход привлек большое внимание, что вылилось в большом количестве работ по реализации таких состояний. Свойства Гауссового состояния света, из которого извлечен один фотон, рассматривались в [82] на фазовой плоскости. Было показано, что такие состояния являются не Гауссовыми. Такой тип преобразования Гауссового света в не Гауссовый может быть назван процессом де-Гауссификации света. Более подробно данный вопрос рассматривается в Главе 3. Извлечение фотонов из произвольного состояния может быть произведено с помощью пучкового делителя с высоким коэффициентом пропускания, а действие оператора рождения может быть реализовано при помощи спонтанного параметрического взаимодействия. В работе [83] было экспериментально реализовано состояние, полученное извлечением фотона из сжатого вакуума. Соответствующий теоретический анализ данной работы был проведен в [84]. Анализ был сделан в общем виде с учетом реалистической модели детектора в представлении Вигнера. Было показано, что сгенерированное состояние аппроксимирует с высокой точностью состояние сжатого фотона в предельном случае, когда коэффициент пропускания пучкового делителя стремится к единице. Также было показано почему экспериментально сгенерированное состояние света в работе [83] не продемонстрировало свои не классические свойства. Дальнейшее развитие данного подхода было сделано в [85].

Извлечение фотонов из изначально Гауссовых состояний света или добавление фотонов к изначально Гауссовому состоянию света может улучшить запутанные свойства генерированных не Гауссовых состояний. Так в работе [86] была рассмотрена возможность увеличить точность телепортируемого состояния посредством использования не Гауссового запутанного канала, который может быть создан посредством извлечения некоторого количества фотонов из каждой моды двух-модового сжатого вакуума. Вопрос увеличения точности телепортируемого состояния в несколько другом аспекте рассмотрен в работе [87]. Свойства запутанного канала, образованного извлечением фотонов из двух-модового сжатого вакуума, рассмотрены в [88]. В настоящее время сделано достаточно большое количество работ по изучению не локальных свойств запутанных фотон извлеченных состояний [89−95]. Общий подход к изучению таких состояний —- это рассмотреть сам процесс генерации таких фотон извлеченных состояний и использовать их для проверки неравенств Белла в различной экспериментальной конфигурации. Стоит отметить, что рассмотрение не локальных свойств таких состояний было проведено также с учетом их взаимодействия с окружающей средой.

Другой тип работ с фотон извлеченными состояниями света связан с возможностью аппроксимировать ими другие состояния, в частности, СКС (2.2.37). Так в работе [96] было показано, что сжатый единичный фотон аппроксимирует не четную сжатую СКС с амплитудой с точностью. Расширенная версия данного подхода рассмотрена в работе [97]. Анализ двух экспериментальных схем, приспособленных для генерации квази-СКС состояний, представлен в [98]. Экспериментальная реализация состояний света, из которых извлечен один фотон, была показана в работах [99−101]. Дальнейшее расширение работ связано с изучением состояний с двумя извлеченными или добавленными фотонами [102−104]. В работе [74] была экспериментально продемонстрирована возможность реализовать сжатое состояние Шредингеровского кота амплитуды посредством гомодинного измерения в вспомогательных модах двух-фотонного состояния света, прошедшего через пучковый делитель. Возможность применения сжатых суперпозиций когерентных состояний к квантовым протоколам рассмотрена в [105].

В последние годы число работ по не Гауссовым фотон извлеченным и добавленным состояниям только увеличилось. Общий обзор работа по данной теме можно найти в [106]. Стоит только упомянуть лишь некоторые из этих работ. Фотон добавленное состояние было экспериментально реализовано в [107]. В работе [108] было предложен метод реализации когерентной суперпозиции операторов рождения и уничтожения для того, чтобы экспериментально проверить коммутационное соотношение оптическими методами [109]. Другая интересная работа связана с генерацией запутанных когерентных состояний [110]. Экспериментально три фотона были извлечены из сжатого вакуума в [111], чтобы аппроксимировать не четную СКС. В работе [112] была предложена оптическая схема, чтобы осуществить произвольную полиномиальную суперпозицию операторов. Реализация когерентной суперпозиции была рассмотрена в [113]. Стоит также упомянуть работу [114], где была предложена оптическая схема для произвольной суперпозиции фотонных состояний. В работе [115] было показано как применить когерентную суперпозицию операторов к произвольному состоянию. Операторы рождения и уничтожения могут быть использованы для построения однои двух-кубитных унитарных преобразований для квантовых компьютеров [116]. Основная трудность при рассмотрении такого подхода —- это как построить преобразование Адамара. Достаточно сложная версия реализации преобразования Адамара, в которой используется комбинированное (одного фотона и гомодинное) измерение в вспомогательных модах, было экспериментально продемонстрировано в [117]. Другой тип работ наиболее близкий к материалу диссертации можно найти в работах [118,119]. Так в работе [118] рассматривается возможность реализовать когерентные суперпозиции операторов с помощью применения оператора перемещения в вспомогательных модах составного запутанного состояния. В терминах, используемых в настоящей работе, речь в работе [118] идет об извлечении перемещенных фотонных состояний (Глава 3), чтобы осуществить нелинейное воздействие на начальное состояние света. Но в работе [118] такая идея не используется. То, что идея с извлечением перемещенных фотонных состояний работает на практике, может служить работа [119], где экспериментально была продемонстрирована возможность сгенерировать сжатый кубит, составленный из вакуума и единичного фотона. В настоящей работе представляется теория генерации состояний, из которых извлекается перемещенное фотонное состояние. Для того чтобы показать это, нужно воспользоваться теоремой о разделе, представленной в разделе 2.2.

Рассмотрим возможность реализовать аналог преобразования Адамара (2.1.9) с отличными друг от друга входными и выходными базисными состояниями.

(2.3.9).

(2.3.10).

где и —- входные базисные состояния в одном двухмерном Гильбертовом пространстве, в то время как and —- выходные базисные состояния в другом Гильбертовом пространстве [69−72]. Преобразование Адамара —- это важная унитарная операция и ее реализация даже в такой интерпретации с отличными друг от друга начальными и конечными базисными состояниями представляет значительный интерес. Стоит отметить, что выше рассматривалась реализация унитарных операций в одном Гильбертовом пространстве методами нелинейной оптики (2.3.4, 2.3.5). Стоит отметить, что речь идет о реализации одностороннего действия преобразования Адамара, когда начальные базисные состояния преобразуются в суперпозиции. Обратное действие гейта Адамара с преобразованием суперпозиционных состояний в начальные базисные состояния на данном этапе не рассматривается. Таким образом, можно только говорить о реализации некоего аналога (аналогичного устройства) преобразования Адамара. По определению данная аналоговая модель гейта Адамара не является унитарным преобразованием. В дальнейшем будут использоваться термины односторонний аналог преобразования Адамара и просто преобразование Адамара, подразумевая под ним именно не унитарную операцию.

Рассмотрим оптические схемы на рисунках 2.8 и 2.9. Сжатые когерентные состояния с отличными друг от друга амплитудами.

(2.3.11).

(2.3.12).

являются входными базисными состояниями для оптической схемы на Рис. 2.8. Оператор сжатия [66].

(2.3.13).

с коэффициентом сжатия одной из квадратурных компонент используется в формулах (2.3.11, 2.3.12). Оператор сжатия является Гауссовым оператором.

Свет, находящийся в одном из состояний (2.3.11, 2.3.12), направляется на не равновесный пучковый делитель с коэффициентом пропускания. Используется следующее обозначение для не равновесного пучкового делителя UBS (unbalanced beam splitter). Значительная часть света проходит через такой пучковый делитель, но тем не менее незначительная часть отклоняется в отраженную моду UBS. Отраженная часть падающего пучка направляется на измерительную систему, показанную на рисунке 2.8. Измерительная система состоит из равновесного пучкового делителя, для которого используется обозначение BBS (balanced beam splitter). Выходные моды BBS направляются на лавинные фотодиоды, для обозначения которых используется аббревиатура APD (avalanche photodiodes).

Рисунок 2.8.

Оптическая схема, используемая для реализации преобразования Адамара с базисными сжатыми когерентными состояниями. Из начальных базисных состояний извлекается два фотона. Мода —- основная, в то время как моды и —- вспомогательные. Используются следующие обозначения: BBS (balanced beam splitter) —- пучковый делитель, UBS (unbalanced beam splitter) —- не балансный пучковый делитель и APD.

(avalanche photodiode) —- лавинный фотодиод с квантовой эффективностью.

Рисунок 2.9.

Обобщение оптической схемы на рисунке 2.8 на случай генерации сжатого когерентного состояния, из которого извлекается фотонов. В частности, данная схема может быть приспособлена для генерации сжатого когерентного света с извлечением и фотонов.

Выходное состояние света генерируется в пропускающей моде UBS (мода) после того, как два клика одновременно регистрируются двумя лавинными фотодиодами.

Оптическая схема на рисунке 2.8 может быть обобщена на произвольный случай извлечения фотонов, где —- произвольное целое число, из начальных базисных состояний, как это показано на рисунке 2.9. Отличие оптических схем на рисунках 2.8 и 2.9 —- это использование расширенной измерительной системы на рисунке 2.9, которая состоит уже в общем случае из BBS и APDs. Соответственно, на рисунке 2.9 показано расширение оптической схемы на рис. 2.8 на случаи и (пунктирные линии). Естественно, что можно не ограничиться случаем и расширить аналогичным образом оптическую схему на Рис. 2.9 на случай .

Введем обозначение для генерируемых фотон извлеченных состояний в пропускающей моде UBS как nPSS (n-photon subtracted state), где буква n отвечает за количество извлекаемых фотонов. Так можно говорить о генерации 2PSS (сплошные линии), 3PSS и 4PSS (пунктирные линии) состояний на рисунке 2.9 при регистрации соответственно, и одновременных кликов измерительной системой на рисунке 2.9. Состояния nPSS —- это выходные состояния, которые затем могут быть либо зарегистрированы методом гомодинного детектирования [66], либо использованы в других квантовых протоколах.

В настоящее время APD используется в большинстве оптических экспериментов, так как APD обладает высокой квантовой эффективностью. Но APD не может быть использован как счетчик фотонов, так как данный детектор не способен отличить друг от друга количество падающих на него фотонов. Поэтому в современных оптических экспериментах APD используется как вентиль (включено/выключено), который различает только два события в измерительной моде: фотоны летят в направлении APD, где и регистрируются детектором, фотоны отсутствуют в APD моде, и поэтому детектор молчит. При этом количество фотонов, которые находятся в APD моде, не имеет значения для регистрации их APD. Лавинный фотодиод выдает одинаковый отклик как на одиночный фотон, так, например, и на сто фотонов, находящихся в APD моде. Данное обстоятельство существенно снижает возможность реализовать квантовые протоколы оптическими методами. Данное обстоятельство уже ранее отмечалось в работах [25,26,56,57], где рассматривались различные методы построения квантовых компьютеров. В частности, рассматривались идеализированные фотодетекторы, которые способны различать количество фотонов в измеряемой моде. Но такое рассмотрение является теоретически идеализированным.

В настоящее время существуют детекторы, которые могут отличать только единичный фотон от состояния двух фотонов [81]. Но данные детекторы, разрешающие количество фотонов, работают при низкой температуре и едва ли могут считаться коммерческими в силу их высокой стоимости. К тому же данные детекторы не отличают друг от другу состояния с большим числом фотоном большим чем два. Модель детектора способного разрешать количество фотонов в моде использовалась в работах автора [69,70], что можно признать идеальным модельным рассмотрением. Но уже в работах [71, 72] оптическая схема на рисунках 2.8 и 2.9 рассмотрена уже в реалистическом сценарии, в котором уже воспользуется модель реальных APD. Стоит отметить, что сложная измерительная система на рисунках 2.8 и 2.9 используется для того, чтобы преобразовать фотонное состояние во вспомогательной моде UBS в единичных фотонов, чтобы зарегистрировать их APD. Тогда, APD детектор выступает в качестве проекционного измерения на состояние в такой интерпретации. Данная измерительная система позволяет при определенных условиях заменить идеализированный детектор, способный различать количество фотонов в измерительной моде.

Общая теория пучковых делителей представлена в [120]. Используем следующий оператор пучкового делителя.

(2.3.14).

где, и (и) —- бозонные операторы уничтожения и рождения в некоторых и модах. Параметр пучкового делителя определяет как коэффициент пропускания, так и коэффициент отражения. Значение параметра пучкового делителя соответствует случаю BBS. В случае рассмотрения пучкового делителя, коэффициенты пропускания и отражения не равны друг другу. Используя оператор пучкового делителя (2.3.14), можно показать, что имеет место следующее соотношение между входными и выходными операторами [120].

(2.3.15).

Рассмотрим упрощенную модель оптической схемы на рисунке 2.8. Значение параметра пучкового делителя выбирается в упрощенной модели. Данное значение параметра пучкового делителя означает, что UBS с используется, как это уже отмечалось выше. Малое значение параметра позволяет заменить оператор пучкового делителя на оператор

(2.3.16).

где. Данная замена следует из разложения (2.3.14) по малым значениям параметра .

Выражение в правой части (2.3.16) —- это прямое произведение двух операторов уничтожения и рождения в модах и, соответственно, возведенное в степень. Действие оператора на вакуумное состояние ведет к рождению фотонного состояния во второй моде. Тогда регистрация этого фотонного состояния во второй отраженной моде ведет к генерации соответствующего nPSS в пропускающей моде UBS. Воспользуемся моделью идеального детектора способного различать количество фотонов в моде в упрощенном рассмотрении. После регистрации фотонного состояния во второй моде, получаем аналитические выражения для nPSS состояний с.

(2.3.17).

с волновыми амплитудами.

(2.3.18).

(2.3.19).

(2.3.20).

с нормировочным множителем.

(2.3.21).

с.

(2.3.22).

где волновые амплитуды имеют вид.

(2.3.23).

(2.3.24).

(2.3.25).

(2.3.26).

c нормировочным множителем.

(2.3.27).

с.

(2.3.28).

(2.3.29).

(2.3.30).

(2.3.31).

(2.3.32).

(2.3.33).

c нормировочным множителем.

. (2.3.34).

Общий параметр перемещения nPSS состояний имеет вид.

. (2.3.35).

В формулах для волновых амплитуд использовано обозначение для начальной амплитуды сжатых когерентных состояний. При выводе формул (2.3.17−2.3.35) использовались следующие соотношения [66].

(2.3.36).

. (2.3.37).

Состояния (2.3.17, 2.3.22, 2.3.28) —- это 2PSS, 3PSS и 4PSS состояния, которые представляют собой суперпозицию перемещенных фотонных состояний света, включая когерентное состояние. Выберем следующие состояния.

(2.3.38).

(2.3.39).

в качестве выходных базисных состояний (2.3.9, 2.3.10). Выходные базисные элементы —-это перемещенные сжатые когерентные состояния. Здесь стоит отметить, что в общем случае амплитуды перемещения могут быть и не равны друг другу так же как и амплитуды сжатия. Выходные базисные состояния являются асимптотически ортогональными, так как их скалярное произведение.

(2.3.40).

быстро стремится к нулю. Соответственно, суперпозиции выходных состояний с равными волновыми амплитудами являются суперпозициями перемещенных сжатых когерентных состояния (СПСКС) и могут быть записаны как.

(2.3.41).

где нижние индексы отвечают за четную и не четную СПСКС по аналогии с СКС (2.2.37), Аббревиатура SDSCS означает superposition of displaced squeezed coherent states. Состояния (2.3.41) включают в себя как четные, так и не четные перемещенные фотонные состояния. Тем не менее, термины четная и не четная СПСКС используются в силу того, что данные состояния происходят от СКС. Состояния (2.3.41) также могут быть рассмотрены как суперпозиции сжатых когерентных состояний (СКСС).

(.2.3.42).

сдвинутых на некоторое значение в фазовой плоскости. Аббревиатура SSCS означает superposition of squeezed coherent states. Отметим лишь тот факт, что выходные суперпозиции СПСКС, СКСС так же как и СКС ортогональны друг другу.

(2.3.43).

при любых значениях. При выводе выражения для скалярного произведения (2.3.43) было использовано унитарное свойство оператора перемещения (2.2.2) и оператора сжатия.

(2.3.44).

где —- оператор эрмитово-сопряженный оператору сжатия (2.3.13) и —- единичный оператор.

Таким образом, преобразование Адамара (2.3.9, 2.3.10) может быть переписано как.

(2.3.45).

. (2.3.46).

Преобразование (2.3.45, 2.3.46) может быть выполнено только с некоторой точностью (2.2.64) при определенных значениях параметров сжатия, и параметров перемещения,. Изменяются только значения начальных амплитуд и базисных nPSS состояний (2.3.11, 2.3.12).

Рисунок 2.10.

График зависимости точности от амплитуды СКС состояний для 2PSS (кривая), 3PSS (кривая) и 4PSS (кривая). Значения параметров выбраны таким образом, чтобы обеспечить равенство точностей. Чем больше фотонов извлекается из начального пучка света, тем выше точность, с которой nPSS аппроксимируют выходные состояния гейта Адамара.

Рисунок 2.11.

График зависимости амплитуд входных базисных 4PSS состояний (2.3.11, 2.3.12) (кривая) и (кривая) от амплитуды суперпозиции когерентных состояний, которые обеспечивают максимально возможную точность (кривая на Рис. 2.10).

График зависимости разности амплитуд входных базисных состояний (2.3.11, 2.3.12) от амплитуды суперпозиции когерентных состояний. Данные значения амплитуд соответствуют кривой на рисунке 2.10.

Точность между nPSS и СПСКС следует из общего определения точности (2.2.64) и может быть переписана как.

(2.3.47).

где —- матрица плотности nPSS состояния.

(2.3.48).

где —- волновая функция (2.3.17, 2.3.22, 2.3.28), амплитуды которой изменяются при изменении начальных амплитуд и базисных состояний и —- матрица плотности SDSCS.

. (2.3.49).

Рассмотрим сдвиг ССКС вдоль оси, то есть выберем. Сдвиг СКС состояний с вдоль оси рассматривался в разделе 2.2, где анализировалась возможность аппроксимировать СКС суперпозициями ее первых членов. Была представлена математическая теория, результаты которой представлены на рисунках 2.5−2.7. Следуя результатам данного раздела, выбираем чисто мнимые значения, , где величины, —- это реальные величины, в качестве амплитуд входных базисных состояний (2.3.11, 2.3.12). Расчет точностей (2.3.47) производится с помощью представления СКС (2.2.40, 2.2.41). Приведем пример расчета точностей. Подставляя выражения для СПСКС и 2PSS в формулу для точности (2.3.47) между двумя чистыми состояниями, получим следующую формулу.

(2.3.50).

где и —- это состояние, которое получается в результате действия оператора перемещения с амплитудой на четную и не четную СКС в представлении [69−71]. Выражения для других точностей и (2.3.47) рассчитываются подобным образом и в настоящем разделе не приводятся из-за их сложности.

Значения параметров, которые обеспечивают максимально возможные значения точностей, могут быть найдены численными методами. Соответствующие значения точностей в зависимости от показаны на рисунке 2.10. Значения параметров выбраны таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия. Кривые, и соответствуют значениям, соответственно. Из графика следует, что чем больше фотонов извлекается из начального состояния, тем выше точность генерируемого состояния. Естественно можно предположить, что извлечение большего числа фотонов дает возможность сгенерировать состояния с большей точностью близкой к единице даже для больших значений. Математический подход пригодный для проверки данного факта подобен тому, который использовался для анализа 2PSS, 3PSS и 4PSS состояний. Анализ таких состояний с извлеченными фотонами становится математически сложным. Стоит отметить, что (как будет показано в Главе 3) вероятность наблюдения события с извлеченными фотонами становится незначительной. Численное моделирование показывает, что изменение значения параметра общего сдвига выходных базисных состояний (2.3.38, 2.3.39) ведет к наблюдению других возможных случаев или. Детали такого анализа представлены в работах [69−71]. Значения параметров входных и выходных базисных состояний, которые обеспечивают максимально возможные точности, не показаны в данной главе.

Рассмотрим только в качестве примера амплитуды начальных базисных состояний и (2.3.11, 2.3.12). На рисунках 2.11 и 2.12 показаны зависимости, и их разности, соответственно, от амплитуды СКС, которые обеспечивают максимально возможные точности для 4PSS на рисунке 2.10. Как видно из рисунка 2.12 4PSS состояния чувствительны к значениям входных амплитуд,. Небольшое изменение амплитуды (Рис. 2.12) ведет к генерации различных типов (четной и не четной) СКС. Подобные зависимости входных значений входных амплитуд, наблюдаются и в случае генерации 2PSS и 3PSS состояний, что является общей чертой присущей данному типу преобразования.

Таким образом, была показана возможность построения аналога преобразования Адамара (2.3.9, 2.3.10) для входных сжатых когерентных состояний (2.3.11, 2.3.12) посредством извлечения из них нескольких фотонов.

График зависимости максимально возможных значений точности (кривая) и (кривая) генерируемых состояний, из которых извлекли четыре фотона, от амплитуды суперпозиции когерентных состояний .

Рассмотрим также возможность реализации на входных базисных состояниях преобразования (2.1.3), связанного с вращением вектора на сфере Блоха. Так согласно (2.3.6, 2.3.7, 2.3.36, 2.3.37), имеем следующую цепочку преобразований.

(2.3.51).

где. Как было показано выше, унитарному преобразованию соответствует вращение вектора на угол вокруг оси на сфере Блоха. Данная операция реализуется с помощью оператора перемещения с амплитудой перемещения. Это означает, что одно-кубитовые преобразования с сжатыми когерентными состояниями (2.3.11, 2.3.12) могут быть осуществлены по третьему сценарию, согласно классификации, используемой в разделе 2.1.

Стоит отметить, что развиваемый подход может быть применен просто к генерации четной и не четной СКС большой амплитуды. В данном случае рассматривается случай, когда амплитуды сжатия входных и выходных базисных состояний, а также амплитуды сдвига выходных суперпозиций не равны друг другу, и. Такое отсутствие ограничений на значения параметров входных и выходных состояний расширяет возможности сгенерировать соответствующие СПСКС большой амплитуды с высокой точностью. Так на рисунке 2.13 показана зависимость максимально возможных значений точностей (кривая) и (кривая) от [69,70]. Сравнение графиков на рисунках 2.10, 2.13 показывает, что наложение ограничений на значения параметров состояний для реализации преобразования Адамара уменьшает точности выходных состояний. Так численные расчеты показывают, что точность 4PSS, аппроксимирующего четную СПСКС с амплитудой, в то время как точность состояния, которое аппроксимирует не четную СПСКС такой же амплитуды,. Данные значения выходных точностей превышают значения точностей, которые были получены для выходных состояний гейта Адамара (Рис. 2.10). Значения точностей для выходных состояний гейта Адамара. Но тем не менее, такие nPSS, генерируемые в случае отсутствия ограничений на значения параметров, не так просто приспособить к протоколам квантовой информатики. Тем не менее, данные состояния могут представлять интерес с фундаментальной точки зрения, как состояния которые являются оптическим аналогом котов Шредингера [1].

Ранее было известно о возможности генерировать четную и не четную СКС (ССКС) посредством извлечения из Гауссовых начальных состояний света нескольких фотонов [96,97,102,106,107]. Причем считалось, что извлечение четного числа фотонов дает возможность сгенерировать четную СКС (ССКС), в то время как извлечение не четного числа фотонов генерирует не четную СКС (ССКС). В настоящей работе показано, что возможно генерация как четной, так и не четной СКС (ССКС) независимо от числа извлеченных фотонов. Данная возможность стала возможной при включении в рассмотрение сдвига СКС (ССКС) состояний на фазовой плоскости.

Выше была рассмотрен один из возможных способов реализации преобразования Адамара и одно-кубитовых вращений с базисными когерентными состояниями света. Но данный подход имеет ряд недостатков. Требуется извлечение большого числа фотонов из начальных состояний света, чтобы сгенерировать выходные состояния преобразования Адамара с высокой точностью. Но извлечение большого числа фотонов понижает вероятность наблюдать такое событие, так как не значительная часть падающего света отражается в пучковом делителе с большим коэффициентом пропускания. К тому же как было показано на рисунке 2.12 разность амплитуд начальных базисных состояний, что ведет к тому, что данные состояния могут уже не считаться ортогональными согласно формуле (2.3.40). Другой недостаток анализируется в заключении к данной главе. Данные обстоятельства поощряют поиск других возможных путей для реализации одно-кубитовых преобразований.

Другой возможный подход для реализации преобразования Адамара основывается на извлечении перемещенных состояний из начальных пучков света. Более детально такой подход с извлечением перемещенных фотонных состояний рассмотрен в Главе 3. Изначально такая идея была рассмотрена в работе [121]. В настоящем разделе рассмотрим усовершенствованную идею, основанную на ранее использованном математическом методе. Данный подход также может напоминать идею кластерных состояний [27]. Изначально кластерное состояние (запутанное состояние особого вида) подготавливается. После того как такое кластерное состояние подготовлено каждый кубит такого кластерного состояния измеряется в выбранном базисном состоянии, причем выбор измерения определяется результатом предыдущего измерения.

Схематическое изображение оптической схемы, которая может быть использована для генерации одно-модового полуфабрикатного состояния. Данное состояние генерируется посредством извлечения четырех фотонов из сжатого когерентного состояния света. Выходные состояния преобразования Адамара образуются посредством проекционного измерения данного состояния на входные базисные когерентные состояния света.

График зависимости максимально возможных значений точности (кривая) и (кривая) детерменистически генерируемых состояний при проецировании вспомогательного состояния на входные базисные когерентные состояния в зависимости от. 4PSS состояние используется в качестве данного вспомогательного состояния.

График зависимости амплитуд (кривая) и (кривая) от амплитуды суперпозиции когерентных состояний. Данные амплитуды используются для вычисления амплитуд входных базисных состояний (2.3.58, 2.3.59). Данные значения амплитуд использованы для расчета точностей на рисунке 2.15.

В изучаемом случае назовем такое специально состояние одно-модовым полуфабрикатным состоянием.

Когерентные состояния используются в качестве входных базисных состояний.

(2.3.52).

(2.3.53).

как это показано на рисунке 2.14, где, —- реальные величины и в общем случае. Рассмотрим состояния.

(2.3.54).

. (2.3.55).

в качестве выходных базисных. Одно-модовое полуфабрикатное состояние (2.3.17, 3.28) может быть сгенерировано посредством извлечения двух, трех, четырех и более фотонов из сжатого когерентного состояния. Тогда, одно-модовое полуфабрикатное состояние может аппроксимировать или четную с амплитудой или не четную с амплитудой СПСКС (2.3.41). В качестве примера используем 4PSS (2.3.28) как одно-модовое полуфабрикатное состояние по аналогии с анализом, представленном выше. Согласно этому анализу состояния, у которых извлечено большее число фотонов, могут аппроксимировать желаемые состояния с более высокой точностью. Все остальные значения параметров для двух состояний совпадают. Преобразование Адамара (2.3.9, 2.3.10) может быть записано в следующем виде без включения нормировочного множителя для выходных состояний.

(2.3.56).

. (2.3.57).

Окончательно, проецируем данное 4PSS (или одно-модовое полуфабрикатное состояние) на входные базисные состояния (2.3.52, 2.3.53), чтобы реализовать преобразование (2.3.56, 2.3.57). Данное проекционное измерение может быть осуществлено посредством смешения сигнального состояния с вспомогательным когерентным состоянием на пучковом делителе с. Описание такого смещения представлено выше на примере реализации преобразования (2.3.7). Данные рассуждения дают возможность рассчитать амплитуды и как.

(2.3.58).

. (2.3.59).

Значения и, которые обеспечивают максимально возможные значения точностей, находятся посредством численного поиска. Результаты такого расчета точностей представлены на рисунке 2.15, на котором представлены зависимости (кривая) и (кривая) от. Стоит отметить, что значения других используемых параметров выбраны таким образом, чтобы обеспечить максимальное значение суммы двух точностей. Другой тип зависимостей наблюдается на рисунке 2.15 в отличии от кривых, представленных на рисунке 2.10. Так рассчитанные кривые имеют максимум около, спадая на крыльях данных зависимостей. Соответствующие зависимости и от, которые обеспечивают значения точностей на рисунке 2.15, показаны на рисунке 2.16. Другие зависимости параметров, которые были использованы при построении и, не показаны. Как видно из Рис. 2.16, разность значений амплитуд, используемых для расчета, также принимает не большие значения как и в случае, представленном на рисунке 2.12. Тем не менее, использование высоко пропускающего пучкового делителя с гарантирует высокую разность амплитуд (2.3.58, 2.3.59) и обеспечивает выполнение условия.

. (2.3.60).

Данное условие означает, что входные базисные состояния являются асимптотически ортогональными в отличии от случая на рисунке 2.12.

Такая реализация преобразования Адамара обладает явными преимуществами. Так входные состояния света являются асимптотически ортогональными. Реализация данного протокола квантовой информатики является уже детерменированным при условии, что одно-модовое полуфабрикатное состояние было заранее реализовано. Это означает, что данный протокол реализуется всегда при проецировании вспомогательного состояния на входные базисные состояния. Это является значительным преимуществом по сравнению с вероятностными протоколами, которые реализуются только при регистрации некоторых событий в вспомогательных модах. Тем не менее, не достаточно высокая точность генерируемых состояний может быть препятствием для дальнейшего их использования в последующей квантовой обработки информации. Можно ожидать, что генерация вспомогательного (одно-модового полуфабрикатного состояния) с извлеченными фотонами позволит увеличить точность генерируемых состояний. Но решение данного вопроса требует отдельного изучения.

Таким образом, в настоящем разделе были рассмотрены вопросы реализации одно-кубитовых преобразований с разными базисными состояниями. Извлечение того или иного количества фотонов из начальных состояний является движущей силой, служащей для реализации этих преобразований. Разнообразие подходов и оптических схем не ограничивается рассматриваемыми случаями. Все они могут основываться на теореме о разложении, основы которой изложены в разделе 2.3. Другие аспекты основ данного подхода рассматриваются в Главе 3, где обсуждаются физические аспекты рассматриваемых подходов.