Критерий устойчивости Ляпунова по линейному приближению

Пусть уравнения нелинейной системы представлены в виде.

или, в векторной форме, где.

Здесь q — малое положительное число, с — положительная константа. Условие (4.26) означает, что разложение нелинейного члена R (x) в (4.25) в ряд Тейлора в начале координат начинается с членов, содержащих квадраты или более высокие степени фазовых координат и их произведения.

Теорема 4.19 (критерий устойчивости Ляпунова нелинейной системы). Положение равновесия х = 0 нелинейной системы (4.25) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы х = Ах имеют отрицательную вещественную часть, и неустойчиво, если среди указанных корней имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью.

Доказательство этой теоремы опирается на следующую лемму [7].

Лемма 4.2. Пусть ш (х) — знакоопределенная квадратичная форма, V (х) — произвольная квадратичная форма.

Тогда функция

будет знакоопределенной, совпадающей по знаку с w (x) в некоторой окрестности начала координат.

Доказательство. Согласно неравенству (4.1) имеем.

где А_т — минимальное, Ам — максимальное собственные числа соот;

п ветствующей матрицы квадратичной формы w (x), |х|² = 51 х². Так как.

^(^dVV А. ‘⁼‘.

> (—— 1 — квадратичная форма, то, аналогично, имеем.

*=1 'OXi /

где А'_т — минимальное, '_м — максимальное собственные числа соответствующей матрицы указанной квадратичной формы. Из неравенства Коши-Шварца (4.19) и неравенств (4.26) и (4.28) имеем.

или.

Пусть для определенности ш (х) — положительно определенная функция. Тогда А_т и Хм в (4.27) являются положительными числами. Поэтому из (4.27) и последнего неравенства имеем.

то из последнего неравенства следует.

т.е. в окрестности |х| < (A_TO/^A]^c) ° начала координат знак левой части в последнем неравенстве совпадает со знаком iu (x), что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 4.19. Пусть линеаризованная система х = Ах асимптотически устойчива, т. е. вещественные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны. Покажем, что исходная нелинейная система (4.25) также асимптотически устойчива.

На основании критерия устойчивости Ляпунова линейных систем (теорема 4.15) существует такая положительно определенная квадратичная форма V(х), что производная по времени от этой функции в силу уравнения линеаризованной системы, т. е.

равна отрицательно определенной квадратичной форме w (x) = — |х|² =.

Если.

*=1.

Производная от указанной квадратичной формы в силу исходной нелинейной системы (4.25) имеет вид.

и она в силу леммы 4.2 в некоторой окрестности начала координат является отрицательно определенной функцией. Поэтому положение равновесия х = 0 нелинейной системы (4.25) асимптотически устойчиво.

Пусть среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы х = Ах имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. Покажем, что нелинейная система (4.25) неустойчива.

По теореме 4.18 для w (x) = |х²| существует квадратичная форма, принимающая в какой-либо точке в любой окрестности начала координат положительное значение и производная которой по времени в силу уравнения линеаризованной системы (4.21) удовлетворяет соотношению.

Производная V (x) по времени в силу уравнения (4.25) принимает вид.

По лемме 4.2 сумма.

является положительно определенной функцией в некоторой окрестности начала координат. Следовательно, согласно второй теореме Ляпунова о неустойчивости (теорема 4.12) система (4.25) неустойчива. Теорема дока;

Критпический случай. Итак, если линеаризованная система устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. Если линеаризованная система неустойчива и хотя бы один корень ее характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то и исходная нелинейная система неустойчива. И наконец, если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет корни на мнимой оси и не имеет корней в правой полуплоскости, т. е. она маргинально устойчива, то говорят, что имеет место критический случай. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости исходной нелинейной системы. В примере, который был рассмотрен в начале параграфа, был критический случай.

Пример 4.9. Исследовать устойчивость положения равновесия системы

Решение. Разложение в ряд Тейлора синуса имеет вид Поэтому для линеаризованного уравнения имеем.

Линеаризованная модель (асимптотически) устойчива, так как все коэффициенты уравнения положительны, т. е. выполняется необходимое условие устойчивости, а для систем 2-го порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным. Поэтому и исходная нелинейная система асимптотически устойчива.

Пример 4.10. Исследовать устойчивость положения равновесия системы

Решение. Разложение в ряд Тейлора функции е^у имеет вид Поэтому для линеаризованного уравнения имеем Характеристическое уравнение имеет вид.

Определитель Гурвица 2-го порядка положителен:

Так как выполняется необходимое условие устойчивости и единственный определитель Гурвица с четным индексом положителен, то по критерию Льенара-Шипара линеаризованная система устойчива. Следовательно, и исходная нелинейная система асимптотически устойчива.

Пример 4.11. Исследовать устойчивость положения равновесия системы

Решение. Уравнения первого приближения имеют вид Характеристическое уравнение.

имеет два чисто мнимых корня. Поэтому имеет место критический случай, и по линеаризованной модели нельзя исследовать устойчивость исходной нелинейной системы.

Исследуем устойчивость нелинейной системы методом функций Ляпунова. В качестве кандидата на функцию Ляпунова примем квадратичную форму

Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид Если принять а = ¼, то получим

Таким образом, выбранная квадратичная форма является положительно определенной, а ее производная по времени в силу заданных уравнений системы — отрицательно определенной. Следовательно, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости положение равновесия рассматриваемой системы является асимптотически устойчивым.