Классификация задач оптимального управления и их преобразования

1. По виду ограничений оптимального управления различают:

а) задачу классического типа, когда ограничения задаются в виде равенств

б) задачу неклассического типа, когда среди ограничений имеются ограничения в виде неравенств.

К классическому типу относятся также задачи с ограничениями вида.

Такие ограничения называют изопериметрическими ограничениями, а вариационные задачи с такими ограничениями называют изопериметрическими задачами.

Введение

м дополнительных переменных от изопериметрических ограничений всегда можно избавиться. Достаточно вместо изопериметрических ограничений (9.15) в условие задачи ввести следующие уравнения и краевые условия:

Формально задачи неклассического типа введением дополнительных переменных можно преобразовать к задачам классического типа. Действительно, ограничения (9.14) можно заменить ограничениями вида

Задачи оптимального управления неклассического типа могут иметь ограничения вида

Введение

м дополнительных переменных эти ограничения могут быть заменены соотношениями.

= /n+s (x, U, t) J ?n+s (^o) = Oj En+sitf) ^ 8 = 1,2,… ур.

Как нетрудно заметить, при преобразованиях изопериметрических ограничений вводимые дополнительные переменные представляют собой фазовые координаты, а при преобразованиях неизопериметрических ограничений вводимые переменные играют роль дополнительных координат векторного управления.

Среди рассмотренных выше задач задачами оптимального управления классического типа являются задачи 3, 4 и 7, неклассического типа — задачи 1, 2, 5 и 6.

• 2. По виду краевых условий различают:
  • а) задачи с фиксированными (закрепленными) концами, когда каждое из множеств Хо и Xj состоит из одной точки (все фазовые координаты в начальный и конечный моменты заданы, т. е. фиксированы);
  • б) задачи с подвижным правым концом (когда X/ состоит более чем из одной точки), с подвижным левым концом (Ло состоит более чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца подвижны).

Среди рассмотренных выше задач задачами с фиксированными концами являются задачи 1, 6 и 7,6), с подвижным правым концом — задачи 2, 3, 4, 5 и 7, а).

• 3. По времени начала и окончания процесса различают:
  • а) задачи с фиксированным временем, когда начальный to и конечный tf моменты фиксированы;
  • б) задачи с нефиксированным временем, когда хотя бы один из моментов времени to или tj не фиксирован.

Среди рассмотренных выше задач только задача 7 является задачей с фиксированным временем. Все остальные задачи являются задачами с нефиксированным временем.

• 4. По критерию оптимальности различают:
  • а) задачу Вольца — критерий оптимальности имеет вид

<0.

б) задачу Лагранжа — критерий оптимальности имеет вид.

в) задачу Майера — критерий оптимальности имеет вид.

Задача Майера в частном случае, когда функционал имеет вид J = <7о[х (</),?/] (т.е. зависит только от конечного состояния и, быть может, от конечного момента времени), называется задачей терминального управления, а когда функционал имеет вид J = (tf — to) — называется задачей максимального быстродействия. Среди рассмотренных выше задач задача 7 является задачей Лагранжа, остальные задачи являются задачами Майера, причем задачи 1, 2, 5 и 6 являются задачами максимального быстродействия.

Задачи Вольца, Лагранжа и Майера эквивалентны в том смысле, что путем преобразования переменных каждую из задач можно преобразовать в любую другую задачу.