Вырожденная задача оптимального оценивания

Напомним: задача оптимального оценивания называется вырожденной или сингулярной, если матрица интенсивности шума наблюдения является вырожденной (не является положительно определенной). Вырожденные задачи возникают, когда часть компонент выходного вектора измеряются точно или когда шум наблюдения является цветным и матрица интенсивности преобразованного шума наблюдения является вырожденной. Если задача оценивания является вырожденной, то приведенные выше оптимальные фильтры использовать нельзя. Если шумы являются цветными, то, согласно описанным выше процедурам, исходная задача может быть преобразована в задачу с белыми шумами. Поэтому ограничимся рассмотрением только сингулярной задачи с белыми шумами.

Сингулярную задачу оптимального оценивания можно сформулировать следующим образом:

где фазовый вектор в начальный момент х° не коррелирован с шумами объекта Vo и наблюдения V, и они имеют следующие вероятностные характеристики:

Здесь, как обычно, принимается, что Ро, Qq — положительно полуопределенные матрицы, Яо ^— положительно определенная матрица.

Эта задача отличается от несингулярной задачи оценивания тем, что в ней уравнение наблюдения представлено двумя уравнениями: (11.506) — уравнением, определяющим неточно измеряемые выходные переменные, (11.50в) — уравнением, определяющим точно измеряемые выходные переменные.

Оптимальная оценка определяется следующим образом:

Получим алгоритм (11.51). Компоненты вектора измеряются точно. Пусть размер этого вектора равен р и матрица Сг имеет ранг р. Тогда (11.50в) представляет собой р линейных независимых уравнений для неизвестного фазового вектора. Поэтому достаточно получить еще п — р уравнений, которые совместно с (11.50в) позволят определить оценку х.

или, учитывая (11.52),.

Здесь приняты следующие обозначения: L п L? определяются из соотношения.

где матрица С? выбирается так, чтобы (п х п)-матрица в (11.52) справа была невырождена;

вероятностные характеристики преобразованных шумов имеют вид.

Введем (п — р)-вектор q, определяемый соотношением q = С^х. Из этого соотношения и уоавнения наблюдения (11.50в) имеем.

Очевидно, если найдем оптимальную оценку q, то, подставив ее в (11.56), получим формулу (11.51а), определяющую оптимальную оценку х. Поэтому задача свелась к определению оптимальной оценки для q. Продифференцировав тождество q = С?х и учтя соотношения (11.50а) и (11.56), получим.

Преобразуем уравнение наблюдения (11.506): нужно получить уравнение, связывающее выходную переменную с q. Подставив выражение для х из (11.56) в (11.506), получим где и С определены в (11.54). Продифференцировав второе уравнение наблюдения (11.50в) и использовав уравнение объекта (11.50а) и представление (11.56), находим.

где и 62 определены в (11.54). И если воспользоваться представлением (11.536) и положить V" = ^то УР^{авнеиие} наблюдения можно записать в виде

Таким образом, чтобы найти оптимальную оценку q, нужно найти фильтр Калмана-Бьюси для системы (11.57), (11.58). Вычислив корреляционные функции преобразованного шума объекта Vo = C2V0.

и преобразованного шума наблюдения V, = (), а также их.

^2 * 0 /.

взаимную корреляционную функцию для интенсивности Qo шума Vo, интенсивности Rq шума V_H и их взаимной интенсивности So, получим формулы, приведенные в (11.55). Так как взаимная корреляционная функция шумов объекта и наблюдения отлична от нуля, то оптимальная оценка q определяется, согласно теореме 11.3, по формулам (11.516), (11.51в), (11.51г). Начальные условия q (?o) и P (to) определяется исходя из соотношения q = С^х.

Пример 11.6. Объект и наблюдение описываются уравнениями.

Фазовые координаты в начальный момент не коррелированы с шумами объекта и наблюдения и имеют следующие вероятностные характеристики:

Требуется определить оптимальную оценку.

Воспользовавшись обозначениями (11.53а) и положив Vo = C2V0, последнее уравнение можно записать в виде.

Из (11.516), (11.51в), (11.51г) имеем.

Для искомой оценки из (11.51а) получаем х = $, Х2 = У2-