Метод медленно меняющихся амплитуд

Этот метод позволяет исследовать класс колебательных цепей (систем) с малой нелинейностью и малым затуханием, для описания которых используется дифференциальное уравнение.

где f (x', х) — нелинейная функция; х', х"  — первая и вторая производные искомой величины; р — малый параметр

(р"1).

При р = О получаем уравнение х" + х = 0, которое описывает консервативную линейную систему с одной степенью свободы. Его решение может быть записано в виде.

где А_с и A_s — постоянные, задаваемые начальным запасом колебательной энергии цепи в виде начальных условий; при этом.

Для р 1 решение может быть записано в виде при этом.

где и (т) и г;(т) — медленно меняющиеся амплитуды, скорость изменения которых г/'"г/ и v. В связи с малостью и' и V¹ введем дополнительное условие, связывающего и и v:

Используя (10.6.3—10.6.5) можно от уравнения (10.6.1) перейти к системе.

Для этого в левую часть (10.6.1) подставим.

и (10.6.3), в правую — (10.6.3), (10.6.4); из (10.6.5) определим сначала v а затем и' и подставим в полученное соотношение.

Система (10.6.6) из двух уравнений первого порядка точно соответствует исходному уравнению (10.6.2) второго порядка. Из этой системы следует, что производные и' иг/ имеют порядок малости ц 1, что подтверждает справедливость выбранных условий и! и и г/ «г;.

Представим правые части (10.6.6) как периодические функции с периодом 2к в виде ряда Фурье и, ограничив его одним первым членом, получим приближенные укороченные уравнения.

Перепишем систему (10.6.7) в виде.

так как она в правых частях не содержит в явном виде времени т. Во многих случаях ее можно проинтегрировать, получая временную зависимость медленно меняющихся функций и (т) и v (x), являющихся «амплитудами» искомого решения.

Решения системы (10.6.9) должны дать возможные стационарные амплитуды гармонических движений, приближенно отражающих реальный стационарный процесс.