Методы построения индексов. 
Агрегатные индексы и средние индексы из индивидуальных (групповых)

Сводные индексы могут быть представлены в агрегатной форме или как средние из индивидуальных (в среднеарифметической или среднегармонической формах). Основной формой индексов являются агрегатные индексы.

Способ построения общих индексов в виде агрегатных сводится к выражению с помощью определенных соизмерителей итогового (суммарного) значения несопоставимых в физических единицах показателей в сложной совокупности и последующему сопоставлению такой суммы в отчетном и базисном периодах.

В качестве соизмерителей индексируемых величин выступают тесно связанные с ними экономические показатели: цены, количества и др. Произведение каждой индексируемой величины на соизмеритель образует в индексном отношении определенные экономические категории.

Основным условием применения в статистике коммерческой деятельности агрегатных индексов является наличие исходной информации (например, информации о поступлении или реализации товаров в натуральных измерителях и ценах единицы товара, о себестоимости единицы продукции и количестве произведенной продукции и т. п.).

Агрегатный индекс — это отношение суммы отчетных значений индексируемого признака, взвешенного на соответствующих значениях признака-веса, к сумме базисных значений индексируемого признака, взвешенных, но тем же значениям признака-веса.

Характерной важнейшей особенностью агрегатных индексов является то, что в них наиболее полно и наглядно раскрываются материальное содержание и смысл индексного показателя. Это выражается прежде всего в том, что числитель и знаменатель агрегатного индекса включают всю индексную систему признаков; в агрегатном индексе отчетливо видна роль отдельных признаков в индексной системе, экономически истолковываются суммы агрегатов числителя и знаменателя индекса.

Предположим, что известны данные о производстве различной несоизмеримой в физических единицах продукции за два периода и необходимо с помощью общего индекса охарактеризовать изменение объема всей продукции в отчетном периоде по сравнению с объемом в базисном периоде. Неоднородную продукцию, не допускающую непосредственного суммирования, можно с помощью определенных соизмерителей выразить в одинаковых единицах измерения и, определив в них общий объем изучаемой продукции в отчетном и базисном периодах, найти отношение этих общих объемов. Чаще всего в качестве такого соизмерителя выступает цена на единицу продукции. Умножая цены на количество произведенной продукции, получаем стоимостное выражение продукции каждого вида, которое допускает суммирование.

Кроме цен, соизмерителем в отдельных случаях может служить себестоимость единицы продукции или затраты времени на производство единицы продукции.

Таким образом, при расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Как уже отмечалось, цены различных товаров складывать неправомерно, но суммировать товарооборот по этим товарам вполне допустимо. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

где суммы берутся по видам товара.

Рассмотрим методику исчисления сводных индексов в агрегатной форме на примере.

Таким образом, товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным увеличился в 1,89 раза, или составил в отчетном периоде 189% по отношению к базисному (вырос на 89%). Товарооборот за анализируемый период вырос на 14 000 — 7 400 = 6 600 тыс. руб.

Пример 8.1. Магазин продаст два вида товаров: куртки и пальто. Реализация характеризуется показателями, представленными в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Реализация товаров.

Рассчитаем индекс товарооборота:

На величину полученного индекса товарооборота оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации.

Если продукцию двух сравниваемых периодов оценить в одних и тех же неизменных ценах, то стоимость продукции будет отличаться лишь за счет изменения объема продукции. Индекс, исчисленный как отношение стоимости продукции двух периодов в одних и тех же ценах, — сводный индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения. Весами в данном случае выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне:

п п.

где ХРю9/о ^— стоимость продукции базисного периода; ХР/о?н ^— стои- 1=1 /=1.

мость продукции отчетного периода в базисных ценах.

Разность между числителем и знаменателем агрегатного индекса характеризует изменение в абсолютном выражении сложного (результативного) показателя за счет изменения индексируемой величины.

Пример 8.2. Рассчитаем агрегатный индекс физического объема по данным табл. 8.1:

Это означает, что общий объем реализации товаров вырос в 1,284 раза, или в отчетном периоде составил 128,4% по сравнению с базисным (вырос на 28,4%).

В абсолютном выражении за счет увеличения количества проданных товаров товарооборот в отчетном периоде вырос на 9500 — 7400 =2100 тыс. руб.

Таким образом, если бы не произошло изменения цен на продаваемые магазином товары, то товарооборот вырос бы на 2100 тыс. руб. То, что фактический рост товарооборота оказался значительно выше (6600 тыс. руб.), связано с изменением цен на продаваемые товары.

По аналогии с индексом физического объема для определенного набора товаров может быть построен сводный индекс цен. Нельзя суммировать цены на различные товары, но можно суммировать стоимости этих товаров. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. Если при построении агрегатного индекса цен в качестве весов принять продукцию базисного периода, то получим индекс цен Ласпейреса:

Если при построении агрегатного индекса цен в качестве весов принять продукцию отчетного периода, то получим индекс цен Пааше:

На практике используют формулы индексов цен и Ласпейреса, и Паше, хотя они дают разные результаты. Как правило, по значению индекс Ласпейреса больше индекса Пааше.

Каждый из этих индексов имеет свои особенности, которым отдается предпочтение в конкретных условиях использования.

По формуле Ласпейреса рассчитывают индекс потребительских цен, который показывает, во сколько раз изменились бы потребительские расходы в текущем периоде по сравнению с базисным, если бы при изменении цен уровень потребления оставался прежним. Такой расчет корректен при отсутствии значительных количественных и качественных изменений в структуре потребления (во времени и по территории, если индекс рассчитывается для нескольких регионов). Индекс Ласпейреса удобен также для оперативной информации об изменении цен на определенный фиксированный набор товаров, когда пересчет каждый раз на текущий набор (количество) товаров сопряжен с большими затратами труда и времени.

Изучение динамики розничных цен (например, для получения индексадефлятора, позволяющего рассчитать стоимостные показатели отчетного периода в сопоставимых ценах) должно быть максимально приближено к совокупности товаров, произведенных в отчетном периоде. Результат расчета по формуле Пааше показывает, во сколько раз сумма фактических затрат населения на покупку товаров больше (меньше) суммы денег, которую население должно было бы заплатить за эти же товары, если бы цены оставались на уровне базисного периода.

Статистическим анализом доказано, что в долговременном аспекте формула Пааше занижает реальное изменение цен вследствие общественной отрицательной корреляции (относительный вес товара падает, если цена его возрастает), а в случае долгосрочных и международных сопоставлений разница между индексами, выбор весов в которых осуществляется разными способами, составляет несколько процентов (до 30—50%).

Когда индекс цен рассматривается в системе с индексом стоимости и индексом физического объема (при проведении факторного анализа), отдается предпочтение индексу Пааше. Между данными индексами существует следующая взаимосвязь:

Данное равенство достигается, если индекс цен строится по продукции отчетного периода.

Доказано, что наилучший линейный индекс лежит между индексами, вычисленными по формулам Ласпейреса и Пааше. Зарубежные статистики пытались найти компромиссную формулу, которая получила название формулы Эджворта — Маршалла:

Данная формула улавливает сдвиги в структуре покупок, но привязана к условной структуре товарооборота, не характерной ни для одного реального периода, поэтому не имеет прямого экономического смысла. В данной формуле в качестве весов используется среднее количество продукции.

где <7₀ и q_x — количество продукции в базисном и отчетном периодах соответственно.

Расчет по формуле Эджворта — Маршалла встречает препятствия в сборе материалов, как и расчет по формуле Пааше.

Наиболее удачным компромиссом многие экономисты считают «идеальный» индекс Фишера:

который оценивает не только набор товаров базисного периода по ценам текущего, но и набор товаров текущего периода по ценам базисного. Он применяется в случае трудностей с выбором весов или значительного изменения структуры весов.

Значения индексов, вычисленных по формулам Ласпейреса и Пааше, совпадают лишь в случае совпадения структуры товарной массы базисного и отчетного периодов, что на практике почти невозможно. Численные значения индексов, рассчитанных по различным формулам на основе одних и тех же данных, отличаются порой значительно, особенно в годы резких изменений уровня цен и связанного с этим изменения структуры спроса. Отдать предпочтение одной формуле трудно: разные цели диктуют применение индексных форм, имеющих разный экономический смысл. Отказ от концепции единственного индекса цен в пользу концепции системы индексов позволит дать обобщающую характеристику и оценку основных причин изменения розничных цен. Но поскольку все же индексный метод не универсален, а отражает лишь тенденцию движения цен, то нельзя требовать большей определенности от рассчитанных индексов. Кроме того, на чистоту результатов огромное влияние оказывает достоверность исходных материалов, особенно ошибка выборки, степень представительности товаров, включенных в расчет.

Рассчитаем индекс цен (Пааше) для рассматриваемого нами примера (табл. 8.1):

Это означает, что цены выросли в 1,47 раза, или в отчетном периоде составили 147% по сравнению с базисными (выросли на 47%).

В абсолютном выражении за счет роста цен товарооборот в отчетном периоде вырос на 14 000 — 9500 = 4500 тыс. руб.

Таким образом, имеет место увязка индексов (относительного изменения показателей):

а также абсолютных изменений (товарооборот вырос на 6600 тыс. руб., в том числе за счет увеличения количества проданных товаров товарооборот в отчетном периоде вырос на 2100 тыс. руб.; за счет роста цен — на 4500 тыс. руб.):

(в нашем примере 6600 = 4500 + 2100).

На данном примере мы показали использование индексного метода в факторном анализе. В случае когда связь между результативным показателем и влияющими на него факторами является функциональной (детерминированная связь), определить влияние факторов на изменение результативного показателя можно, применив индексный метод.

Мы рассмотрели расчет агрегатных индексов физического объема и цен как наиболее типичных представителей агрегатных индексов соответственно для количественных и качественных индексируемых показателей. По аналогии можно записать агрегатные индексы для многих других показателей.

Приведем формулы для расчета некоторых наиболее употребительных агрегатных индексов (суммирование по прежнему ведется по видам товаров, но для удобства записи границы суммирования опускаем).

Индекс изменения общей суммы затрат на производство продукции в зависимости от объема производства (q) и затрат на единицу продукции (z):

Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей численности работающих (Т) и заработной платы (/):

Индекс изменения объема продукции Iq рассматривается в двух вариантах — в связи с изменением численности работающих (7) и уровня их выработки (W):

и в связи с изменением объема основных производственных фондов (Ф) и показателя эффективности их использования — фондоотдачи (//):

Нетрудно заметить, что используемые в приведенных формулах индексы I_q, 1_Ту 1_Ф получаются, но методу индекса физического объема, а индексы l_z, Ip I_w, 1_И — но методу индекса цен. Таким образом, рассмотренная выше методика распределения общего прироста товарооборота полностью приложима к анализу прироста продукции, изменения общих затрат на производство, изменения общего фонда оплаты труда и т. д.

Агрегатные индексы цен, физического объема товарооборота и др. могут быть вычислены, если известны индексируемые величины и веса, т. е. р и q. Но количественный учет продажи в современных условиях развития торговли осуществляется не везде. В розничной сети государственной и кооперативной торговли реализация товаров, как правило, учитывается в стоимостном выражении. Поэтому агрегатная форма общих индексов здесь не применяется.

Общие индексы могут быть исчислены не только как агрегатные, но и как средние из индивидуальных или групповых. Средний индекс — это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов.

Например, если имеются данные об изменении цен на конкретные товары, то, естественно, из таких индивидуальных индексов могут быть рассчитаны сводные индексы как средние величины, причем взвешенные. Приступая к использованию средних индексов, приходится решать два вопроса.

• 1. Какую форму средних нужно применить при индексировании признаков?
• 2. Какие и за какой период нужно взять веса (невзвешенные средние индексы, за редчайшими исключениями, применять нельзя)?

В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов.

Вопрос о выборе формы средней и системы весов решается на основе общего правила, что агрегатный индекс — основная форма всякого экономического индекса. Следствием этого правила является то, что средний из индивидуальных индексов должен быть тождествен исходному агрегатному. Это значит, что средние из индивидуальных индексов выступают как преобразованная форма агрегатного индекса.

Предположим, что мы располагаем данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде и индивидуальными индексами цен, полученными, например, в результате выборочного наблюдения. Тогда при расчете сводного индекса цен можно использовать следующую замену:

В целом же сводный индекс цен в данном случае будет выражен в форме средней гармонической:

В таком виде индекс цен выступает как средняя гармоническая величина из индивидуальных индексов цен, взвешенных по сумме фактического товарооборота отчетного периода. Следует обратить внимание на то, что только при такой системе весов средний гармонический индекс цен будет тождественен исходному агрегатному индексу и даст количественно тот же результат. Всякая иная система весов неприемлема.

Итак, чтобы средний гармонический индекс был тождествен агрегатному, весами индивидуальных индексов в нем должны быть взяты слагаемые из числителя исходного агрегатного индекса. Это правило определяет и сферу применения средних гармонических индексов: их целесообразно применять тогда, когда в агрегатном индексе числитель является реальной величиной.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 8.3. В отчетный период по сравнению с базисным цены на товар, А возросли в 5 раз, а на товар Б — снизились на 5%. Как изменились средние цены на товары, А и Б вместе, если известно, что товарооборот в отчетный период по товару, А составил 120 тыс. руб., а, но товару Б — 200 тыс. руб.

Решение

Индивидуальные индексы цен на товары, А и Б равны ip =5, ip =0,95. Товарооборот отчетного периода равен Y* PQ =120 + 200 = 320 тыс. руб. В этом случае общий индекс цен можно рассчитать как среднюю гармоническую:

Таким образом, цены по данной товарной группе в среднем выросли на 36,4%.

При расчете сводного индекса физического объема товарооборота можно использовать среднеарифметическую форму. При этом производится замена.

В целом же сводный индекс физического объема в данном случае будет определяться по формуле.

В качестве основной исходной формы общего индекса при расчете индекса физического объема продукции мы брали агрегатный индекс, взвешенный по неизменным ценам базисного периода:

Общий индекс объема продукции получается как средняя арифметическая из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базисного периода.

Итак, чтобы получить средний арифметический индекс, тождественный агрегатному, весами индивидуальных индексов в нем должны быть взяты слагаемые знаменателя исходного агрегатного индекса. Это общее правило определяет сферу применения средних арифметических индексов: их целесообразно применять тогда, когда в агрегатном индексе знаменатель является реальной величиной.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 8.4. В отчетный период, но сравнению с базисным продано товара, А на 20% больше, а товара Б — на 30% меньше. Как изменился общий объем продаж, если известно, что товарооборот в базисный период по товару, А составил 200 тыс. руб., а по товару Б — 120 тыс. руб.

Решение

Индивидуальные индексы физического объема на товары, А и Б равны =1,2, =0,7. Товарооборот базисного периода равен =200 + 120 = 320 (тыс. руб.).

В этом случае общий индекс физического объема можно рассчитать как среднюю арифметическую:

Таким образом, физический объем реализации данных товаров в среднем вырос на 1,25%.