Лекция 30 Функция Ляпунова для систем с постоянными коэффициентами. 
Матричное уравнение Ляпунова

Для того, чтобы вполне освоить идею функции Ляпунова постараемся найти функцию Ляпунова для простейшей системы линейной системы с постоянными коэффициентами.

где по-прежнему х ? Я1^п, А пхго-матрица. Поскольку систему мы взяли самую простую, и функцию Ляпунова имеет смысл искать среди наиболее простых функций. Самой простой функцией является константа, но она нам не подходит: нужно, чтобы функция в нуле равнялась нулю, а в остальных точках была отлична от нуля. Линейная функция тоже не подходит: множество ее нулей всегда представляет собой гиперплоскость^[1]. Поэтому первым «кандидатом¹¹ на то, чтобы быть функцией Ляпунова, являются функции квадратичные. Например, сумма квадратов V (x) — х+х-——-Ьх'д удовлетворяет всем «предварительным¹¹ требова ниям к функции Ляпунова: в нуле она равна нулю и положительна вне нуля, на бесконечности принимает бесконечное значение, непрерывна и даже непрерывно дифференцируема. Однако она почти что совпадает с нормой (У (ж) = ||ж||^[2]), и поэтому, как уже говорилось, удовлетворить последнему условию (основному из всех) положительности или отрицательности производной в силу системы оказывается проблематичным.

Попробуем немножко «пошевелить ситуацию». Нс выходя та рамки квадратичных функций, попробуем рассмотреть объект, чуть более общий, чем просто сумма квадратов. Таким объектом является квадратичная фирма.

• [1] Аналог плоскости в п-мсриом пространстве множество решений уравнения
• [2] aixi + 02X2 + •? ? + апхп = 0.