Контрольные вопросы и задания

• 1. Дайте определение испытания и события.
• 2. Что называется пространством элементарных событий?
• 3. Какие случайные события называются несовместными, равновозможными, составляющими полную группу событий?
• 4. Что такое понятие вероятности случайного события?
• 5. Охарактеризуйте классический, геометрический и статистический способы определения вероятности.
• 6. Приведите формулы сложения вероятностей случайных событий, умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
• 7. Дайте понятия независимых событий и испытаний.
• 8. Что такое условная вероятность? Какова формула условной вероятности?
• 9. Приведите условие применимости формулы полной вероятности.
• 10. Приведите условие применимости формулы Байеса.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем па грани хотя бы одной из костей появится шестерка.
• 2. В партии из 50 деталей — 5 нестандартных. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки шести деталей: а) все стандартные; б) две нестандартные; в) хотя бы одна нестандартная.
• 3. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная в данном круге, окажется внутри вписанного в него квадрата?
• 4. Ученик с вероятностью 0,01 делает ошибку Л, с вероятностью 0,02 делает ошибку В и с вероятностью 0,005 делает обе ошибки. Найти вероятность того, что ученик сделает хотя бы одну ошибку.
• 5. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10,8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?
• 6. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле — 0,8, а вторым стрелком — 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.
• 7. Имеется два набора пластилина. Вероятность того, что кусок пластилина из первого набора не имеет дефектов, равна 0,8, а из второго — 0,9. Найти вероятность того, что взятый наудачу кусок пластилина (из наудачу взятого набора) — не имеет дефектов.
• 8. При отклонении от нормы режима работы автомата срабатывает сигнализатор С_х с вероятностью 0,8, а С₂ с вероятностью 1.

Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором равна 0,6, а С₂ — 0,4. Получен сигнал о разладке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С_{ или С₂?

• 9. Деканат решил проконтролировать посещение лекции по математике четырьмя нерадивыми студентами. Каждый из них может быть или не быть на этой лекции. Рассматриваются события:
  • • Л — на лекции был ровно один из четырех студентов;
  • • В — на лекции был хотя бы один из студентов;
  • • С — на лекции было не менее двух студентов;
  • • D — на лекции было ровно два студента;
  • • Е — на лекции было ровно три студента;
  • • F— на лекции были все четыре студента.

Описать события:

1) A + B;2)AB;3)B + C, 4) BC]5)D + E + F;6)BF.

Совпадают ли события В • Fw С • F? В • С и D?

• 10. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу выбрали 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.
• 11. Экзаменационный билет содержит два вопроса, а число всех билетов равно 20. Студент знает ответы на 20 вопросов программы. Какова вероятность получить положительную оценку, если она ставится при условии, что студент ответит хотя бы на один вопрос билета, а число билетов, которые студент знает полностью, равно восьми?
• 12. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: А, М, Р, Т, Ю. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых, но одной карточке можно прочесть слово «юрта».
• 13. Цифры 1,2,3,…, 9, выписанные на отдельные карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.
• 14. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли три человека. Вероятности выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое вышли из лифта на четвертом этаже.
• 15. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника — 0,9, для велосипедиста — 0,8 и для бегуна — 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
• 16. Ребенок имеет на руках пять кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово «кукла»?
• 17. В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 — черные?
• 18. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
• 19. События А, В_у С и D образуют полную группу событий. Вероятности событий таковы: Р (А) = 0,1 , Р (В) = 0,4; Р© = 0,3. Чему равна вероятность события D?
• 20. Школьная библиотека получила три коробки учебников русского языка, напечатанных в типографии № 1, и две коробки учебников, напечатанных в типографии № 2. Вероятность того, что учебник из типографии № 1 не имеет опечаток, равна 0,8, а в типографии № 2 — 0,9. Учительница наудачу извлекает учебник из наудачу выбранной коробки и дает его Андрею. Найти вероятность того, что у Андрея учебник без опечаток.
• 21. На пяти одинаковых карточках написаны буквы — на двух карточках Л, на остальных трех И. Вкладываем наудачу эти карточки подряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово «лилии»?
• 22. Четырехтомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке. Какова вероятность, что номера томов идут подряд?
• 23. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. 11айти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
• 24. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса четыре, из второй — шесть, из третьей группы — пять студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
• 25. Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?
• 26. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из трех человек. Какова вероятность того (если считать выбор случайным), что выбраны две девочки и один мальчик?
• 27. Для кабинета физики покупают микроскоп. В магазине есть в наличии четыре модели микроскопа. Вероятности того, что микроскоп определенной модели выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что наудачу купленный микроскоп выдержит гарантийный срок службы.