Динамика прямолинейного движения

Принцип инерции Галилея. Инерциальные системы отсчета

Динамика — это раздел механики, предметом исследования в котором гак же, как и в кинематике, является механическое движение тел, но с учетом физических причин, обусловливающих тот или иной характер движения. Прямолинейным называется движение материальной точки вдоль прямой линии или поступательное движение абсолютно твердого тела, при котором траектории всех точек тела суть параллельные прямые. Прямолинейное движение представляет собой самый простой вид механического движения.

Рис. 3.1. К описанию опытов Галилея с телом, скользящим по наклонной плоскости.

Первые количественные исследования механического движения были проведены итальянским ученым Галилео Галилеем (1564 — 1642). Принято считать, что современная физика берет свое начало от его опытов с телом, скользящим по наклонной плоскости (рис. 3.1). Галилей измерял путь s и время *, за которое этот путь был пройден. Измерения привели его к формуле Из этой формулы следует, что скользящее по наклонной плоскости тело движется с постоянным ускорением а. Затем Галилей экспериментально установил зависимость ускорения от высоты А, с которой соскальзывает тело, и длины / наклонной плоскости:

где д — ускорение свободного падения. Из этой формулы видно, что при h = /, т. е. при вертикальном положении плоскости тело падает свободно с ускорением д под действием притяжения со стороны Земли. По наклонной плоскости тело скользит с меньшим ускорением. И, когда плоскость расположена горизонтально (h = 0), ускорение тела равно нулю, а его скорость постоянна или тоже равна нулю. На основании этих измерений Галилей сформулировал утверждение, которое теперь называют принципом инерции Галилея (этот принцип называют также первым законом Ньютона): всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если отсутствует воздействие на него со стороны других тел. Иначе говоря, принцип инерции утверждает, что свободное тело, т. е. тело, не взаимодействующее с другими телами, имеет равное нулю ускорение. Однако прежде, чем говорить о величине ускорения, следует указать систему отсчета, по отношению к которой это ускорение измеряется.

Рис. 3.2. Две системы отсчета.

Рассмотрим два тела, движущиеся одно относительно другого прямолинейно и поступательно. Построим две прямоугольные декартовы системы координат К и Л"', связанные с этими телами. В рассматриваемом случае направления осей координат удобно выбрать так, чтобы оси абсцисс этих систем совпадали по направлению, а оси ординат и аппликат были параллельны друг другу (рис. 3.2). Установим связь между координатами х, у иг некоторой точки Р в система отсчета К с координатами х у' и z' той же точки в системе отсчета К'. Как видно из рис. 3.2, эта связь осуществляется соотношениями.

где х₀ есть координата точки О', которая служит началом отсчета системы /Гв системе отсчета К.

Если в точке Р находится движущаяся частица т, то все величины в соотношениях (3.3) следует рассматривать как функции от времени.

связывающие координаты векторов v и v' скорости материальной точки относительно систем отсчета К и К' соответственно.

Продифференцировав равенства (3.4), найдем связь между координатами векторов, а и а' ускорений точки т в системах К и К* соответственно:

Из этих соотношений следует, что одно и то же тело может иметь равное нулю ускорение в одной системе отсчета (например, а' = а' = а' = 0) и одновременно двигаться с ненулевым ускорением относительно другой системы отсчета (а_х = х_а ф 0). Иначе говоря, принцип инерции не может выполняться во всех системах отсчета одновременно.

Системы отсчета, в которых принцип инерции Галилея выполняется, называют инерциальными. Тогда как системы отсчета, в которых этот принцип не справедлив, называют неинерциальными. Инерциальных (так же, как и неинерциальных) систем отсчета бесконечно много. Пусть

т.е. точка О' движется вдоль оси х в системе отсчета К с постоянной скоростью V. В этом случае соотношения (3.3) принимают вид.

а из соотношений (3.4) и (3.5) следует, что координаты векторов скорости v и v' подчиняются закону.

и векторы ускорений, а и а' равны друг другу:

Равенства (3.6) и (3.9) позволяют сделать следующий вывод. Если некоторая система отсчета К является инерциальной, то любая другая система отсчета К движущаяся относительно системы К с постоянной скоростью, также будет инерциальной.

Гипотеза абсолютности времени предполагает, что ход времени во всех системах отсчета одинаков, т. е. синхронизированные часы в различных системах отсчета показывают одно и то же время:

Продифференцировав соотношения (3.3) по времени, получим равенства.

Формулы преобразования координат (3.7) вместе с равенством t = t' называются преобразованиями Галилея. Эти преобразования описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Как практически определить, является ли та или другая система отсчета инерциальной? Многочисленные результаты наблюдений за движением планет вокруг Солнца дали возможность установить, что с большой точностью можно считать инерциальной систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на ''неподвижные" звезды. Эта система отсчета называется гелиоцентрической. Система отсчета, начало которой связано с какой-либо точкой на поверхности Земли или с ее центром, строго говоря, не является инерциальной по той причине, что Земля совершает вращательное движение вокруг Солнца и вокруг своей оси, т. е. движется с ускорением относительно гелиоцентрической системы отсчета.

Ускорение точки земной поверхности, обусловленное вращением Земли вокруг своей оси, будет наибольшим, если эта точка лежит на экваторе. Центростремительное ускорение можно вычислить по формуле.

Угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси равна.

где Т — время, за которое Земля делает полный оборот (сутки). Подставив в эти формулы числовые значения радиуса Земли (R = 6,4 • 10^б м) и длительности суток Т, получим значение центростремительного ускорения точки на экваторе а = 3,4 • 10м/с*. Среднее значение ускорения свободного падения тел у поверхности Земли равно д = 9,8м/с². Это значение на два порядка превышает значение а центростремительного ускорения. Поэтому во многих случаях ускорением а можно пренебречь и считать систему отсчета, неподвижную относительно Земли, инерциальной. Такую систему отсчета называют лабораторной. Эффекты в движениях тел, обусловленные вращением Земли, могут быть обнаружены и измерены, только если измерительные приборы имеют достаточно высокую точность. В самом деле, существуют экспериментальные факты, свидетельствующие о вращении Земли вокруг своей оси. К таким фактам относятся вращение плоскости колебаний маятника Фуко относительно Земли и отклонение падающего тела от линии отвеса.

Система отсчета, начало которой помещено в центр Земли, а оси координат направлены на неподвижные звезды, называется геоцентрической. Ее неинерциальность связана с движением Земли по орбите вокруг Солнца. Подстановка в формулы (3.10) и (3.11) значений радиуса орбиты Земли (Я = 1,5−10¹¹ м) и длительности одного года (Т = 3−10⁷ с) дает следующее значение центростремительного ускорения Земли при ее вращении вокруг Солнца: а = 6Ю"³ м/с². Это значение на порядок меньше центростремительного ускорения тел на экваторе, обусловленного вращением Земли вокруг собственной оси. Это сравнение дает основания считать геоцентрическую систему отсчета инерциальной с большей степенью точности, чем лабораторную.