Давление в недрах планеты

Каждая малая частица Земли, будь то атом или молекула, вносит свой незначительный вклад в создание ее гравитационного поля. Как показывают расчеты и наблюдения, это поле существует как в недрах Земли, так и далеко за ее пределами. Каждая молекула испытывает на себе силу ее тяготения как результат коллективного воздействия на нее всех других молекул Земли. Но при изучении взаимодействия двух или нескольких молекул их взаимным тяготением можно пренебречь, так как, кроме гравитационных сил, между молекулами вещества действуют еще и другие весьма разнообразные по своему характеру силы, имеющие электромагнитное происхождение и носящие общее название сил межмолекулярного взаимодействия. Эти силы существенно превышают по величине силы тяготения, когда расстояния между молекулами сравнимы с их размерами. При малых расстояниях (г < г_р) между молекулами действуют силы отталкивания. Причем расстояние г₀, которое называют радиусом действия межмолекулярных сил, равно по порядку величины диаметру d молекулы: r₀ ~ d. Поэтому практически молекула может взаимодействовать одновременно только с небольшим числом других молекул, которые являются ее ближайшими соседями. Кратко характеризуя зависимости от расстояния г сил взаимодействия двух молекул, можно сказать, что гравитационные силы являются слабыми, но дальнодействующими, а силы меж молекулярного взаимодействия — сильными и близкодействующими.

Произвольная воображаемая поверхность, расположенная внутри какого-либо вещества, разделяет его две части. Только те из находящихся по разные стороны от этой поверхности молекулы могут взаимодействовать друг с другом, для которых расстояния от их центров до разделяющей поверхности меньше радиуса действия межмолекулярных сил. Поэтому создается впечатление, что силы взаимодействия двух частей вещества, разделенных некоторой воображаемой поверхностью, распределены по этой поверхности. Такие силы называются поверхностными. Другими словами можно сказать, что поверхностные силы — это силы, с которыми тонкий слой молекул, расположенных вдоль некоторой поверхности, действует на прилегающий к обратной ее стороне другой слой молекул.

Рассмотрим два слоя молекул, разделенных небольшой по размерам плоской (или почти плоской) поверхностью, площадь которой равна dS. Поверхностную силу, с которой один слой молекул действует на другой, можно разложить на две составляющие: нормальную dF_n и касательную dF_T к поверхности раздела. Давлением Р, или нормальным напряжением называется отношение силы dF_n нормального давления к площади dS поверхности, на которую эта сила действует:

Единицей измерения давления в системе СИ является паскаль (Яа), который равен силе нормального давления в 1 Я, равномерно распределенной по поверхности площадью 1 м²: 1 Па = 1 Н/м².

Давление в любом месте жидкой или газообразной сплошной среды не зависит от ориентации поверхности, при помощи которой оно определяется. Но в общем случае давление может изменяться с течением времени и при переходе от одной точки пространства к другой, т. е. давление является некоторой функцией от времени и координат:

Касательным напряжением г называется отношение касательной поверхностной силы к площади поверхности, на которую эта сила действует:

Для жидкостей и газов, находящихся в равновесном состоянии, касательные напряжения равны нулю.

Большая часть вещества Вселенной сосредоточена в звездах, одной из которых является наше Солнце. Вокруг Солнца вращаются девять больших планет (в том числе Земля) и очень много малых планет — астероидов Имеются ли планеты у других звезд — неизвестно. Почти все звезды, Солнце и его планеты имеют шарообразную форму, которая обусловлена действием сил всемирного тяготения.

Предполагают, что звезды и большие планеты возникли в результате конденсации космической ныли и газов. Система тяштеющих друг к другу частиц, если только она не вращается с большой скоростью, должна принимать форму шара, так как в этом случае ее гравитационная энергия будет наименьшей. Причем гравитационная энергия шарообразного скопления частиц будет тем меньше, чем меньше его радиус. Об этом, например, свидетельствует формула (7.60).

На ранних этапах эволюции нарождающихся звезд и планет гравитационные силы сжимали шарообразные скопления частиц, уменьшая их размеры и тем самым увеличивая плотность вещества в их недрах. С увеличением плотности молекулы все чаще сталкивались и взаимодействовали друг с другом. Все большую роль начинали играть силы межмолекулярного отталкивания, которые обусловливали рост давления и препятствовали сжатию вещества. При определенных условиях устанавливалось такое распределение давления в веществе, что гравитационное сжатие прекращалось и наступало статическое равновесие.

Выведем уравнение, описывающее статическое равновесие сферически симметрично распределенного вещества. Прежде всего отметим, что давление в данном случае будет независящей от времени сферически симметричной функцией координат:

где г — расстояние от центра симметрии до произвольной точки пространства.

Рассмотрим силы, действующие на малую часть площадью dS тонкого сферического слоя вещества радиуса г и толщины dr, вырезаемую узким конусом с вершиной в центре скопления. На этот элемент слоя действует гравитационная сила dF, определяемая формулой (7.41):

которая притягивает его к центру скопления. Здесь dm есть масса рассматриваемого элемента сферического слоя, которую можно выразить через массу всего слоя при помощи соотношения:

Давление Р (г), оказываемое на внутреннюю поверхность элемента сферического слоя, создает силу P® dS, которая направлена от центра, а давление P (r + dr) на внешнюю поверхность — силу P (r + dr) dS_} направленную к центру. Сложим проекции на радиальное направление перечисленных сил и приравняем результирующую силу нулю. Придем к условию, при выполнении которого для всех значений расстояния г Учитывая, что сферически симметричное скопление частиц будет находиться в состоянии статического равновесия:

есть дифференциал функции (7.62), при помощи формул (7.63) и (7.64) преобразуем равенство (7.65) к виду.

Найдем зависимость (7.62) в предположении, что плотность вещества звезды или планеты постоянна и определяется формулой (7.57). При этом масса М(г) вещества внутри сферы радиуса г будет равна.

Подставив это выражение в формулу (7.66), найдем, что производная искомой функции

Интегрирование приводит к зависимости.

Значение постоянной интегрирования может быть найдено из условия

которое означает, что на границе между веществом и пустотой давление обращается в ноль. Окончательно получим:

Средняя плотность земного вещества равна д = Ъ, Ъкг/м^г, а радиус Земли R = 6,4 • 10⁶ м. Используя эти значения, вычислим по формуле (7.67) давление в центре земного шара:

Учитывая, что атмосферное давление равно Р_а = 1 атм ~ 10⁵ Па, приходим к заключению, что давление в центре Земли почти в два миллиона раз выше атмосферного давления.